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基本 例題 112 群数列の応用
1
2 3
45
初項から第210項までの和を求めよ。
6 7 8
1'2'2'3'3'3'4'4'4'4
10
9
11
5
[類 東北学院大〕
・の分数の数列について
基本
指針 分母が変わるところで区切りを入れて,群数列として考える。
分母: 1/2,2/3, 3, 3/4,4,4,4/5,
1個 2個
3個
4個
第n群には、分母がnの分数がn個あることがわかる。
分子:1/2,3/4, 5, 6/7, 8, 9, 10 | 11,
......
分子は, 初項 1, 公差1の等差数列である。 すなわち, もとの数列の項数と分子は
しい。
まず, 第210項は第何群の何番目の数であるかを調べる。
解答
分母が等しいものを群として,次のように区切って考える。
8 9
10|11
45'
12 34 5 6 7
12'23'3'34'4'4'
もとの数列の第項は分
子がんである。また、第
群は分母がんで、個の
を含む。
これから,第n群の最後の
重要 例題
自然数 1,2,
(1) 左から
然数をm
(2)150は
るか。
指針 群数列
解答
(1) 左
番目
(2) 19
して
並べられた
1/2,3,
(1)①の
第1群から第n群までの項数は
1+2+3+…+n=1/23n(n+1)
第210項が第n群に含まれるとすると
108-8-(1-x) +
数の分子は1/27(n+1)
(n-1)n<210≤n(n+1)
第峨野の初項
目の位置
よって
(n-1)n<420≦n(n+1)
・・・・・
①
(2)150が
左から m
(n-1)n は単調に増加し, 19・20=380, 20・21=420 であるから,
①を満たす自然数nは n=20
1
また,第210項は分母が20である分数のうちで最後の数であ
る。ここで,第n群に含まれるすべての数の和は
・20・21=210
2
122<15
第12君
群の1
ゆえに, 求める和は
k2+1 1
=
k=1 2
2 \k=1
=1445
1/12712.12m(n-1)+1}+(n-1) 1)+n
(x²+1)=(20-21-41 +20)
n²+1
÷n=
2
は第n群の数の分
の和 等差数列の和
また、
よって
(20・21・41+20)
n(2a+ (n-1)d)
ある。
練習
③
112
2の累乗を分母とする既約分数を,次のように並べた数列
1
3 1 3 5
7 135
2'4'4'8'8
8'8' 16' 16' 16'
について,第1項から第100項までの和を求め
15
1
16' 32'
******
類 岩手大
練習
113
