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コ
x=1+√2のとき,次の式の値を求めよ。
指針
[大
(1+x)*(((x+1)+7
x=1+√2iをそのまま代入すると,計算が大変である。このようなタイプの問題では,
算が複雑になる要因を解消する手段(次の手順①,②)を考える。
[①] 根号と虚数単位iをなくす]
x=1+√2iから
x-1=√2i
この両辺を2乗すると (x-1)'=-2
[ ② 求める式の次数を下げる]
(x-1)=-2を整理すると
P(x)=x^-4x3+2x2+6x-7 70LED
2 3次方程式の
さそ
係数の
である。 よって
- 根号とiが消える
140
x2-2x+3=0
P(x) すなわち x 4-4x3+2x2+6x-7をx2-2x+3で割ったときの商
大丈Q(x), 余り R(x) を求めると,次の等式 (恒等式)が導かれる。
つい
② 高衣式 P(x)=(x²-2x+3)Q(x)+R(x)
1次式の値を求めることになる。
【CHART 高次式の値 次数を下げる
S/T
RE)
←
=0 L1次以下
x=1+√2iのとき,
i を代入すると,右辺は0.Q(1+√2)+(1+√2) となり,188円
x=1+√2
2-x $ (0)
P(x) = (x2-2x+3)(x²-2x-5)+2x+8
解答
x=1+√2iから x-1=√2i
整理すると
x2-2x+3=0
P(x) を x²-2x+3で割ると,右のようになり1-23 1
1 -2
商x2-2x-5, 余り 2x+8
CESS
役る1 -2
*1-* $ (x)1.00
両辺を2乗して
①x=1+√2i ① の解。
x=1+√2iのとき, ① から
<P(1+√2)=0+2(1+√2i) +8=10+2√2i
別解 ① まで同じ。 ①から
よって
(x) JS PER
S[®=(n (1)
(x-1)=-2
**(x)\,^# .172
<検討参照。
基本8
TE
次数を下」
x=x2.x=(2x-3)x=2x2-3x=2(2x-3)-3x=x-6
x=x3.x=(x-6)x=x²-6x=(2x-3)-6x=-4x-3
P(x)=(-4x-3)-4(x-6)+2(2x-3)+6x-7=2x+8
-5
-4 2
ゆえに
よって P(1+√2)=2(1+√2) +8=10+2√2 i成り立つ。
-1.)\
-2 4
-5
-5
60-7
6
-6
2 &
x²=2x-3 IN
12 -7
10 -15
MIS
DE TAH
検討 恒等式は複素数でも成り立つ
複素数の和・差・積・商もまた複素数であり,実数と同じように,交換法則・結合法則・分配
Bil
