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数学 高校生

15行目の(右辺)>0のとこがよく分かりません

基本例題 29.(2) 29 不等式の証明(絶対値と不等式) 47 .38基本 次の不等式を証明せよ。 (の70?7 どたとm (1) la+b|<lal+|| (2) lal-|b|<|aーb p.38 基本事項 4, 基本 28 1章 CHART SOLUTION 似た問題 1 結果を使う (1) 絶対値を含むので,このままでは差をとりにくい。|AP=A° を利用すると, 絶対値の処理が容易になる。 よって, 平方の差を作ればよい。 (2) 不等式を変形すると そこで,(1)の不等式を利用することを考える。 2 方法をまねる la|<la-b|+|b|↑ =と似た形 回の方針 三し。 解答) の(1) (lal+|b)?-la+b?=(laP+2|a||6|+16円)-(a+b)° =a°+2|ab|+ 6°ー(α°+2ab+6°) =2(Iab|-ab)20 |inf. A20 のとき ー|A|SA=|A| A<0 のとき く の la+bf<(lal+|b) Ja+b20, Jal+1620 であるから la+b|<la|+|| 別解 -lalsaハlal, -|6|<b<6| であるから ー|A|=A<|A| であるから,一般に -|A|SAS|A| 更に,これから JA|-A20, |A|+A20 よって -lal+|b)<a+bslal+\|| la+b|<la|+|b| 辺々を加えて lal+|b|20 であるから Tc20 のとき -cSxSc=→ x|Sc (2) (1)の不等式の文字aを a-6 におき換えて xS-c, cSx 1ece lx2c lalsla-b|+|b| lal-|6|<la-b| よって ゆえに 2の方針。lal-b|が負 の場合も考えられるの で、平方の差を作るには 別解 [1] |al-16|<0 すなわち lal<|b| のとき (左辺)<0,(右辺)>0 であるから不等式は成り立つ。 [2] lal-|b|20 すなわち |al26| のとき laーbP-(la|-|60=(a-b)° (α-2ab|+6) =2(-ab+lab|)<0 場合分けが必要。 inf.」等号成立条件 (1)は0から,lab|=ab, すなわち, ab20 のとき。 よって,(2) は(a-6)b20 ゆえに(a-b20 かつ 620) または(a-b<0 かつ b<0) すなわち a2b2)または asbs0 のとき。 (lal-|b)?<la-bP la-b20, la-b20 であるから lal-16|<la-b| よって |等式·不等式の証明

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数学 高校生

(2)の (ab+1)+c>(a+b)+c が abc+2>a+b+c になったことの過程を教えてください

重要 例題 35 不等式の証明の拡張 一 Ca|<1,|6|<1, |c|<1 のとき,次の不等式が成り立つことを証明せよ。 (1) ab+1>a+b (2) abc+2> a+b+c C CHART @ OLUTION 似た問題 MOITUIO ① 結果を使う ② 方法をまねる (1) 大小比較は差を作る方針。 (2) (1) の2文字 (a,b)から3文字 (a,b,c) に拡張された問題。 1 の方針で、 (1) の結果を2回使って証明する。 |a|<1, |6|<1 から |ab|< 1 であることに注目。 解答 (1) (ab+1)-(a+b)=(6−1)a-(6-1)=(a-1)(b-1) |a|<1,|6|<1 であるから a-1<0, b-1<0 (a-1)(6-1)>0 すなわち (ab+1)-(a+b) > 0 よって したがって ab+1>a+6 lab/<1-1- (2) |a|<1,|6| <1 であるから |ab|<1, |c|<1 であるから, (1) を利用して (ab)c+1>ab+c 0=(xx+x(s よって abc+2>ab+c+1 +c) (1) から (ab+1)+c>(a+b)+c TOTED?< ゆえに abc+2>a+b+c 別解 (abc+2)-(a+b+c)=(bc-1)a+2-b-c |b|<1,|c|<1 であるから |bc|<1 よって bc-1<0 |a|<1 であるから a <1 ゆえに ( bc-1)a> (bc-1)・1 よって ( bc-1)a+2-b-c>bc-1+2-b-c =(6-1)(c-1) |6|<1, |c|<1 であるから 6-1<0, c-1<0 ゆえに (b-1)(c-1)>0 したがって abc+2>a+b+c LOWEE B612 大小比較差を付 XOMP-1<a<1, -k ① 結果を使う ( 1 ) の不等式で a を bをcにおき換え ab+1>a+bの cを加える。 ◆大小比較差を作 <>-1<bc<1 361006 α<1 の両辺に、 bc-1 を掛ける。 199 is Jeless

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