-
![]()
第2章
基礎問
44 第2章 複素数と方程式
26 剰余の定理 (III)
(1) 整式P(z) を-1, r2, æ-3でわったときの余りが,そ
れぞれ 6, 14, 26 であるとき,P(x) を (x-1)(x-2)(x-3) で
わったときの余りを求めよ.
(2) 整式 P(x) を (x-1)でわると, 2-1余り, -2でわると
5余るとき,P(x) を (x-1)(x-2) でわった余りを求めよ.
精講
(1) 25 で考えたように、余りはax2+bx+cとおけます. あとは,
a, b, c に関する連立方程式を作れば終わりです。
しかし, 3文字の連立方程式は解くのがそれなりにたいへんです.
そこで250の考え方を利用すると負担が軽くなります。
(2) 余りをax2+bx+c とおいても P(1) P(2) しかないので,未知数3つ,
等式2つの形になり, 答はでてきません。
解答
..
..
:.
-2a-2b+26=6
.-2a-6+26=14
[a+b-10=0
2a+b-12=0
a=2,b=8
よって, R(x)=(2x+8)(x-3)+26
=2x2+2x+2
注 (別解)のポイントの部分は,P(3)=R(3) となることからもわ
かります.
(2) P(x) を (x-1)(x-2) でわった余りをR (z) (2次以下の整式) と
おくと,P(x)=(x-1)(x-2)Q(x)+R(x) と表せる.
ところが,P(z) は (x-1) でわると2-1余るので,R(x) も
(x-1)^ でわると2x-1余る.
よって, R(z)=a(x-1)2+2x-1とおける.
∴. P(x)=(x-1)(x-2)Q(z)+α(x-1)^+2x-1
P(2) =5 だから, a+3=5
. a=2
よって, 求める余りは, 2(x-1)2+2x-1
すなわち, 2x²-2x+1
3次式でわった余り
ポイント
(1) 求める余りはar' +bx+c とおけるので,
P(x)=(x-1)(x-2)(x-3)Q(z)+ar'+bx+c は2次以下
と表せる.
P(1)=6,P(2)=14,P(3) = 26 だから,
[a+b+c=6
......①
4a+26+c=14 ...... ②
連立方程式を作る
f(x)をg(x)h(x) でわったときの余りをR(x) とす
ると
f(x)をg(x) でわった余りと
R(x)をg(z) でわった余りは等しい
(h(x) についても同様のことがいえる)
45
19a+36+c=26 ...... ③
① ② ③より, a=2, 6=2,c=2
よって, 求める余りは 2x'+2x+2
注25 の考え方を利用すると、次のような解答ができます。
(別解) P(x)=(x-1)(x-2)(x-3)Q(x)+R(z)
P(x) はx-3でわると26余るので
(R(x)は2次以下の整式)
R(x) もェ-3でわると 26余る.
<ポイント
Barn Score 36x-37
CS よっと
P(1)=6,P(2)=14 より,R(1)=6, R(2)=14 わったときの商
演習問題 26
(1) 整式P(x) をx+1, x-1, x+2でわると, それぞれ 3, 7, 4余る.
このとき,整式P(z) を (x+1)(x-1)(x+2) でわったときの余
りを求めよ.
(2)整式P(x) を (x+1)2でわった余りが2x+1, -1でわった余
りが1のとき, 整式P(z) を (x+1)2(x-1)でわった余りを求
めよ.
