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J
8 ランダムウォークー
1
数直線上を点Pが1ステップごとに,+1または1だけそれぞれ
の確率で移動する. 数直
2
線上の値が3の点をAとし,PがAにたどり着くと停止する。
(1)Pが原点Oから出発して, ちょうど5ステップでAにたどり着く確率を求めよ.
(2)Pが原点Oから出発して, ちょうど6ステップで値が2の点Bにたどり着く確率を求めよ.
(3) Pが原点Oから出発して, 8ステップ以上移動する確率を求めよ.
(東北大・経後)
ランダムウォークは反復試行 この例題のように, 数直線上 (あるいは平面上) を点がでたらめに
動く設定の問題を「ランダムウォークの問題」と呼んでいる。 「Aに着くと停止」 という制約がなければ
反復試行であるから,例えば「5ステップまでに+1が2回, -1が3回で1の点に到達する確率」は
sCax(1/2)×(1/2)"となる.(1)(2)は,まず+1の移動が何回あるかを求め,途中で停止する場合を
別に考える.
(うさる
奇数ステップ後は奇数の点 奇数ステップ後は値が奇数の点に, 偶数ステップ後は値が偶数の点に
それぞれある.
反復試行使える!
解答
仕えないところにする
BA
(1)最後の移動は +1であり,それ以前の4ステップは+1が3回, -1が1 -2 -1 012-3
回である。この4通りの移動のしかたのうち, 最初から +1が3回続くもの (14=C3
通り)だけが不適なので,求める確率は42dx/12/ 3
1412 (12)(12)732) 1/20 1/2は最後の + 1
(2) 最後の移動は+1であり, それ以前の5ステップは +1が3回 -1が2回 5ステップ後に値が1の点
である. この 5C3通りの移動のしかたのうち, 最初から +1が3回続くもの ( 1
通り)だけが不適なので, 求める確率は
・X
10-11 9
25 264
(3)8ステップ未満でAにたどり着く場合 (余事象) をまず考える. +1がェ
1が回でちょうどAにたどり着くとすると, x-y=3, x+y<8である
から (x,y)=(3,0), (4,1) (5,2)
10=5C3
8ステップ以上は大変だから, 余
事象を考える.
1~7日考える?(2)
↓しばら
1
1
(x,y)=(3,0)のときの確率は
であり, (41) は (1) で求めた.
23 8
9
(5,2)のときは6ステップ後がBで最後に+1だから確率は 1×1/2
最x-3.9=0, メイクニク
(2)の結果が使える。
1 3
9
91
従って, 求める確率は 1- + +
8 32 128
128
3~7日
08 演習題 ( 解答は p.49 )
原点 0から出発して数直線上を動く点Pがある. 点Pは, 1枚の硬貨を投げて表が出
ると+1だけ移動し, 裏が出ると ー1だけ移動する.
(1) 硬貨を10回投げて,このとき点Pが原点0にもどっている確率は[
である.
(2)硬貨を10回投げるとき、点Pが少なくとも4回目と10回目に原点Oにいる確率
」である.
3)硬貨を10回投げるとき,点Pがそれまで1度も原点0を通らず, 10回目に初め
て原点にもどる確率は [
]である.
(摂南大薬)
(1)と(2)は単なる反復
試行 (3) はうまい数え
方もあるが, 原点にもど
るのは偶数回後しかない
ことに着目して数え上げ
ても大した手間ではな
い。
41
willier
77777
