Chech
246 余りによる場合分け(1)
次のことを示せ、
nを整数とする。n°を3で割ると割り切れるか, または1余る。
12) a, b, c を整数とする.α°+6=c° のとき, aまたはbは3の倍数
である。
(旭川医大·改)
え方
拡数nを, 3k, 3k+1, 3k+2(kは整数)の3つの型に分類して考える.
(2) (1)を利用する.
(1) nが整数のとき, nは, 3k, 3k+1, 3k+2(kは整
数)のいずれかで表される。
(i) n=3k のとき
n=(3k)=3(3k)
であるから, n°は3で割り切れる。
(i) n=3k+1 のとき
3で割ると割り切れる
m,
整数
表
3で割ると1余る整数
7=(3k+1)?=9k?+6k+1=3(3k°+2k)+1
であるから, n° を3で割ると, 余り1となる。
() n=3k+2 のとき
n°=(3k+2)?
e+
3で割ると2余る整数
=9k°+12k+4=3(3k+4k+1)+ 1
であるから,n?を3で割ると,余り1となる。
よって,(i)~()より, n°を3で割ると割り切れる
か,または1余る。
2) aもbも3の倍数でないと仮定する。
の
背理法で示す。
a=3m+1,
て,
1)より,a?, b? を3で割った余りはともに1とな
2ので, a'+ を3で割った余りは2となる。
二万,cを3で割った余りは, 0または1となる。
_a+6°=c? であるから,同じ余りであることに太
順する。
=3n+1
(m, n は整数)より、
a+が
=3(m+n)+2
か
し
パん へ
Focus
よって, aまたはbは3の倍数である。
整数nを3つの型に分類→3k, 3k+1, 3k+2(kは整数)
ここでは,3で割って, 0, 1, 2余る整数の分類 (剰余類という)を 3k, 3k+1,
3k+2 としたが,3k-1, 3k, 3k+1 としてもよい。
6
7
8
2
3
4
5
-5 -4 -3 -2 -1 0 1
2
11
(3で割った余り)
0
0
1
2
1201201 2
