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基本 例題 5
二項定理を利用する式の値
次の値を求めよ。
(2) Co-nCi+nCz
(1) nCo+nCi+n2+....+nCr+......+nCn
........
(3) nCo-2C1+22nCz-..
.+(-2)'nCr+....
· +(−1)”nCr+······ +(−1)″nCn
.......+(-2)"nCn
p.12 基本事項
CHART & SOLUTION
C に関する式の値
二項定理 (a+b)"="Coa"+"Ca"-16+nCza"-262+…+n Cra"-"'+…+nCnb"
の等式に適当な値を代入
二項定理と似た問題ととらえて、 結果を使うことにする。
二項定理において, a=1, 6=x とおいた次の等式
(1+x)"=mCo+nCix+nCzx2+....+Crx+......+nCnx"
をスタートにして、この式の右辺のxにどんな値を代入すると与えられた式になるかを考
える。
解答
二項定理により
(1+x)"=nCo+1x+n2x2+････
+nCrx"+......+nCnxn
s
数学A
る。組
1
異
2
(1) 等式① に, x=1 を代入すると
(1+1)"=zCo+zC1・1+nCz・12+•••... +nCr・1'
+....+nCz・1"
よって nCo+nCi+nC2+......+......+nCn=2"
(2) 等式① に, x = -1 を代入すると
←①のn Crx"が"Cr とな
ればよいから, x=1 を
代入する。
←この等式については,
p.193 を参照。
(1-1)"=nCo+mCr・(-1)+nC2・(−1)2+....+nCr(-1)*①の"x"(1)",C,
+....+nCz(-1)”
+…+(-1)",C=0
よって nCo-n Ci+nCz-+(-1)'n Cr
(3) 等式① に, x=-2 を代入すると
(1-2)"="Co+nC1(-2)+mC2(-2)2+....+nCr.(-2)^
よって
+....+nCz・(-2)”
nCo-2nC1+2rC2-……………+(-2)',C,
+....+(-2)"C"=(-1)"
となればよいから,
x=-1 を代入する。
①のnCrx が
(-2)', C, となればよい
から、x=-2 を代入す
る。
