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25 三角形の個数と組合せ
重要 例題 25
(1) 正八角形 A1A2・･････ As の頂点を結んでできる三角形の個数を求めよ。 人々
よ。 26 (2)
(3) 正n角形 A1A2・・・・･･ An の頂点を結んでできる三角形のうち,正n角形と辺
(2) (1)の三角形で,正八角形1辺あるいは2辺を共有する三角形の個数を求め
を共有しない三角形の個数を求めよ。 ただし n ≧5 とする。 〔類 法政大,麻布大〕
基本24
Then 23.
(1) 三角形は,同じ直線上にない3点で1つできる (前ページの検討 参照)。
(2) [1] 正八角形と1辺だけを共有する三角形 TRENDING
両端の点と、その辺の両隣の2点を除く点が頂点となる。
[2] 正八角形と2辺を共有する三角形→隣り合う2辺でできる。
(3) 問題 (1), (2) (3)のヒント
(3)
(全体)-(正n角形と辺を共有する三角形)で計算。
解答
LEE
(1) 正八角形の8つの頂点から、3つの頂点を選んで結べば,1
つの三角形ができるから, 求める個数は
8.7.6.
(2)
A₂,
あるから、正n角形と辺を共有しない三角形の個数は
(*)nС3-n(n-4)-n=
Se
n(n-1)(n-2) --n(n-4)-n
3･2･1
=n(n-4)(n-5) (13)
OZ
A1
8C3=-
=56 (個)
3･2･1
[1] 正八角形と1辺だけを共有する三角形は,各辺に対
A3
A
A6
し、それに対する頂点として, 8つの頂点のうち,辺の両端
および両隣の2頂点以外の頂点を選べるから,求める個数
07 (3) 2013
(8-4).8=32 (個)
A & ASIA
は
[2] 正八角形と2辺を共有する三角形は、隣り合う2辺で頂点1つに三角形が1つ対
応する。
AUR TCHAJ
As
できる三角形であるから,8個ある。
よって求める個数は
32+8=40 (個)
(3) 正n角形の頂点を結んでできる三角形は,全部で n C3個あ
る。そのうち,正n角形と1辺だけを共有する三角形は (*) (三角形の総数)
n≧5のときn(n-4) 個あり, 2辺を共有する三角形は n個 - (1辺だけを共有するもの)
- (2辺を共有するもの)
=1/{(n-1)(n-2)
-6(n-4)-6}
= n(n²-91
A7
(n²-9n+20)
①/25
点3つからできる三角形の総数は 個,Fの頂点4つからできる四角形の総
円に内接するn角形F (n> 4) の対角線の総数は本である。また,Fの頂
Fの対角線の交点のうち, F の内部で交わるもの
数は個である。 更に, 対角線のうちのどの3本をとってもFの頂点以外の
335
1章
組合せ
