(1) すべての自然数nに対して、1+1が成り立つことを証明せよ。
1 1
k=1
1
(2) 無限級数1+
n
+ +....+ +...... は発散することを証明せよ。
2 3
・基本 34, 重要 44
指針 (1) 数学的帰納法によって証明する。
(2) 数列{1} は0に収束するから、p.63 基本例題 34のように,p.61 基本事項 ②
を利用する方法は使えない。 そこで, (1) で示した不等式の利用を考える。
n2" とすると
k=1 k k=1
1/11/
4
ここで,m→∞のときn→∞となる。
(1)
k
≥1/12+1
① とする。
無限級数
阻
解答
[1] n=1のとき
k=1k
1/2=1+1/2=1/1/3+1
よって, ① は成り立つ。
+1
[2]n=m(m は自然数)のとき,①が成り立つと仮定すると100+
このとき
2
11+1
k=1 k
(+1)+2+1
2m+1
k=2m+1
k
1
1
+
++
2m+2
2m+1
>
m2m2
1
1
+1+
+
++
2m+1 2m+2.
2m+2m_
1
m+1
+1+
.2m=
+1
2m+1
2
よって, n=m+1のときにも ① は成り立つ。
1
12m+1=2m2=2"+2"
1
1
2m+1
2+2+2 (2+)
2m+k
(k=1, 2,., 2-1)
[1] [2] から, すべての自然数nについて①は成り立つ。
(2)S=2とおく。 n≧2" とすると, (1) から
k=1 k
m
m
Sn≥
+1
ここで,m→∞のときn→∞ で lim
(7/27 +1)=0
..
limSn=∞
m-oo
8012
したがっては発散する。
an≦bnでliman=∞⇒limbn=∞ (p.343②)
72-00
12-00
n=1n
重45の結果を開いて、無限級数学は発散
0
(2)より、
m
を示したい
同様に
n
Th=8とおく。≧とすると、
k=1
12/2計++言を計計+2より
2m
m
Th≥ 8 +1
: lin Th=00
"
題意は示された
