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基本例題 153 三角形の辺と角の大小
sin A
sin B
√7
√3
△ABCにおいて,
=sin C が成り立つとき
(1) △ABC の内角のうち,最も大きい角の大きさを求めよ。
(2) △ABCの内角のうち, 2番目に大きい角の正接を求めよ。
p.230 基本事項 ④
指針 (1) 三角形の辺と角の大小関係に注目。
a<b⇔A<B
a=b⇔A=Ba>b ⇔A> B
三角形の2辺の大小関係は,その対角の大小関係に一致する。)
よって, 最大角の代わりに最大辺がどれかを調べる。
正弦定理より, a:b:c=sinA : sin B: sin C が成り立つこと
CHAを利用し、3辺の比に注目。
(2) まず、2番目に大きい角のcos を求め, 関係式 1+tan²0=
5JX150
解答
(1) 正弦定理
a
b
sin A sin B
1+tan² B=
sin C
a:b:c=sin A:sin B:sin C
sin A:sin B:sinC=√7:/√3:1
m
条件から
よって
a:b:c=√7:√3:1
ゆえに,a=√7k,b=√3k,c=h(k>0) とおける。
よって,αが最大の辺であるから,∠Aが最大の角である。
余弦定理により
COS A=
練習
②153
cos B=
(√3 k)²+k² −(√7 k) ²
2-√√3 k.k
したがって, 最大の角の大きさは
A=150°
(2) (1)から2番目に大きい角は ∠B 余弦定理により
k2+(√7k)²2-(√3k)2
2.k. √7 k
1
cos2 B
から
であるから
tan2B=
A> 90° より B <90° であるから
したがって
tan B=
cos' B-1-(27)-1-28-1-23
25
tan B>0
3
V 25
5
-3k² √3
2√3 k²
2
.........
5k²
5
2√7k² 2√7
25
cos²0
か
q
B
r
s
B
△ABCにおいて,
5
8
7
sin A sin B sin C
(1) △ABCの内角のうち、2番目に大きい角の大きさを求めよ。
(2) △ABCの内角のうち,最も小さい角の正接を求めよ。
が成り立つとき
①00
を利用。
重要 155
A
a b C
77 = $3= 1 =* (R>0)
-=k
√3
とおくと
a=√√7k, b= √3k, c=k
a>b>cからA>B>C
よって、 ∠Aが最大の角で
ある。
√7 k
⇔p:r=gs
A
小
√3 k
(1) の結果を利用。 △ABC
は鈍角三角形。
594
C
RET
[類 愛知工大]
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4章
468 正弦定理と余弦定理
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