EX
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nを正の整数とし,整式 P(x)=x3n+(3n-2)x2"+ (2n-3)x"ーn° を考える。
(1) P(x)をxー1で割った余りを求めよ。
(2) P(x) がx°-1で割り切れるようなnの値をすべて求めよ。
【愛知教育大)
(1) P(x) を2次式x°-1 で割ったときの商をQ(x), 余りを
ax+bとすると,次の等式が成り立つ。
x37+(3n-2)x2n+(2n-3)x"ーn=(x°-1)Q(x)+ax+b
そx°-1=(x+1)(x-1)
であるから,①にx=1,
の
-1を代入することを考
えるが,
[1] nが偶数のとき
のの両辺にx=1, x=-1 を代入するとそれぞれ
1+(3n-2)+(2n-3)-n'=a+b,
1+(3n-2)+(2n-3)-n=-a+6
a+b=-n°+5n-4
ーa+b=-n?+5n-4
(-1)"= 1(nが偶数)
-1(n が奇数)
であるから, nが偶数の
とき,奇数のときで分け
て考える必要がある。
すなわち
2,
2, 3を解くと
よって,求める余りは
[2] nが奇数のとき
のの両辺にx=1, x=-1を代入するとそれぞれ
1+(3n-2)+(2n-3)-n'=a+b,
-1+(3n-2)-(2n-3)-n=ーa+b
a=0, b=-n+5n-4
そ(2-3)-2 からまず
aを求める。
ーn°+5n-4 .
すなわち
a+b=-n°+5n-4
の
ーa+b=-n?+n
の, を解くと
よって,求める余りは
a=2n-2, b=ーnペ+3n-2 すい
2(n-1)x-n+3n-2
(2) [1] nが偶数のとき, P(x) がx?-1で割り切れるための条 ←割り切れる→
ーn+5n-4=0 すなわち (n-1)(n-4)=0
件は
(余り)=0
nは偶数であるから
[2] nが奇数のとき, P(x) がx-1で割り切れるための条件
n=4
2(n-1)=0
6から
以上から
は
6 かつ -+3n-2=0
の
n=1
これは奇数であり, ⑦ を満たす。
n=1, 4
