-
![]()
えめよ。
がすべて整数となるような最小の自然数nを求めよ。
《Action 最大公約数と最小公倍数は, まず与えられた数を素因数分解せよ 例題 2
3
n
n°
n
250' 256'243
1)有理数x →x=
m
(mとnは互いに素, nキ0)
が既約分数
n
TT
m
条件の言い換え
n
35m
12。
55m
A2。
35m
55m
条件 -
と
がともに自然数
42n
12n
11
11
「mは 12 と 42 の公]数
ln は 35 と 55 の公
数
=k とおくと n?= 250k ロ
250
250k が平方数
このときのnは
どのような値か?
(例題 225参照)
3
=1とおくとn= 2561 ー→ 256/ が立方数
256
20
= m とおくと n' = 243m
243
243m が4乗数
m
解(1) x =
35
55
12 *, 42 xがともに自然
数であるから x>0
これより, m, nはとも
に正と考えてよい。
(m とnは互いに素, nキ0) とおくと
n
35
x=
12
35m
55
55m
12n
X=
42
42n
この2数がともに自然数となるとき, mは12と 42 の正
の公倍数,n は 35 と 55 の正の公約数である。
よって, xが最小となるのは, mが12と 42 の最小公倍
数,nが35 と55 の最大公約数となるときである。
12 = 2°.3, 42=2·3·7 より
35 = 5·7, 55=5·11 より
分子 mが小さいほど,ま
た,分母nが大きいほど、
xは小さくなる。
m= 2°.3.7 = 84
n =5
ひたがって, 求める有理数xは
84
xミ
5
(2) 250 = 2·5, 256 = 2°, 243 = 3* より,
は2-5°の倍数であるから, n は2·5° の倍数,
は2° の倍数であるから, nは2° の倍数,
n*は3 の倍数であるから, nは3° の倍数である。
これらを満たす最小の自然数nは, 2-5°, 2°, 3° の最小
公倍数であるから
各数の分母を素因数分解
する。
n° = 2-5°a
右辺が平方数となるとき。
自然数んを用いて
例題
225
a=2-5·
このとき, パ= 2°-58
より n=25°k
n= 2°.3°.5° = 1800
22
思考のプロセス|
