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基本例題 151 ±ßの三角関数の値
π
sinβ=
<β<x, sinα=
(1) 0<a</2, 2
cos(α-β), tan(α-β) の値をそれぞれ求めよ。
5
5
のとき, cos(α+B) の値を求めよ。
sina-sinβ=
cosa+cosβ=
p.241 基本事項
解答
指針 α±βの三角関数の値を求めるのだから,加法定理を利用する。
(1) cos a, cosβ の値が必要。 そこで, かくれた条件 sin²0 + cos²0=1 を利用して,
4
ゆえに
この値を求める。
(2) 加法定理により cos(a+β)=cosacosβ-sinasinβ であるが, COS acOS β と
sin asin βは、条件の式を2乗した式に現れることに注目。
また
(1) 0<a<<B<πであるから cosa> 0, cosß<0
√ ₁ - ( 1²/3) ²2 = 1²/1²
3
1-
cos 8= -√1-sin² ß = -√1-(1/2)²
よって sin(a+β)=sinacosβ+cosasinβ=
cosa=√1-sina
tan a=
ゆえに tan(α-β)=
cos(α-β)=cosacos β+ sinasinβ=
sinα 4
sin B
COS α
cos β
4
3'
=
①+②から
tana-tanβ
1 + tanatan β
(2) 条件の式をそれぞれ2乗すると
tan β=
sina-2sinasinβ+sin²=
cos2a +2 cosacosβ+cos² f=
ゆえに 2+2cos(α+β)=
12
13
25
8
のとき, sin(a+β),
25
16
II
25
16
sin'β+cos-β=1
5
312
16
-4 (-33) +- ² + 1 - 550
=
13 5 13
65
53
12
5
25
2+2(cos acos β-sinasin/ 8
4 12 33
-³-(-353) + 1 - 2 - 300
=
13 5 13 65
3-(-1/2)
5
1 + 1/1/72. ( - 21/1/20
13
よって cos(α+B)=
角α, βが属する
象限に注意。
sin²a+cos'a=1
9
16
56
33
◄sin(a-8) 0
を求め､
sin (α-B)
cos(a-8)
計算してもよい
を
sin'a+cos'al
sin+cus fal
練習 (1) α は鋭角, βは鈍角とする。 tanα=1, tanβ=2のとき, tan (α-β),
② 151
cos(α-β), sin(α-β) の値をそれぞれ求めよ。
(2) 2(sinx-cosy) =√3,cosx-siny=√2 のとき, sin (x+y) の値を求めよ。
p.254 EX03(火)
② 15 2
