なぜ青線のようになるのでしょうか？

302 重要 例題 195 無理関数の積分 (2) (特殊な置換積分) (1) 不定積分 S7 √√x² +1 (2)(1) の結果を利用して,不定積分 fvx+1dx を求めよ。 CHARTO SOLUTION おき換えが指定された不定積分 指定された文字で総入れ替え また 「解答」 (1) √x2+1+x=t とおくと 160 (1) 無理関数x2+αの形を含む (ここでは α=1) 不定積分はx=tant と置 換しても求められるが, 計算が煩雑。 与えられた置換に従って計算しよう。 (なお, tan で置換する解法は基本例題202で学習する。) 同形出現 (2) x2+1=(x) x2+1 として部分積分法利用 → x+√x2+1 √x²+1 -dxをx2+1+x=t の置換により求めよ。 よって, したがって Spydx Sidt=logt+C=log(x+1+x)+C -dx= √x² +1 dx = dt から dx (2) √√x²+1 dx = S(x)'√x²+1 dx=x√x ² + 1 = √√√x ² + 1 esindenr √√₁/²+1 dx = f (x²+1)=1 dx x2+1 AMERIC PRACTICE･･・ 195④ x +1dx = dt x² +1 (1) 不定積分 ∫ 1 1 -dx=/dt √√x² +1 111711-1)(x200- 1 = √√x ² + 1 dx-S²/₁² + ₁ dx =x2+x-S- x2+1 *₂7 S√x²+1dx=x√x²+1-(√√x²+1 dx - √√x²³+1 = 2 2- - Dic/)(1- (1) 2√√x²+1dx=x√x³+1+log(√x²+1+x)+C₁ から x2+2x+2 (-)-s-n1(f)+1200x dxnnie同形出現 -dx ゆえに SvxIx1/(x+1+log(x+1+x)}+C 1/2-C とおく。 6 ino ros 基本187 ◆x+√x²+1=tから t -dx=dt √√x² +1 √x²+1>|x| から t>0 ◆ 部分積分法 1)+x800x ACI- 3 [=1²01 1=x200 J* =dxをx2+a+x=t(aは定数)の置換により求めよ。 なりに立つことを証り 1161 (2)(1) の結果を利用して,不定積分x2+2x+2dx を求めよ。 C (1

なぜ青線のようになるのでしょうか？

302 重要 例題 195 無理関数の積分 (2) (特殊な置換積分) (1) 不定積分 S7 √√x² +1 (2)(1) の結果を利用して,不定積分 fvx+1dx を求めよ。 CHARTO SOLUTION おき換えが指定された不定積分 指定された文字で総入れ替え また 「解答」 (1) √x2+1+x=t とおくと 160 (1) 無理関数x2+αの形を含む (ここでは α=1) 不定積分はx=tant と置 換しても求められるが, 計算が煩雑。 与えられた置換に従って計算しよう。 (なお, tan で置換する解法は基本例題202で学習する。) 同形出現 (2) x2+1=(x) x2+1 として部分積分法利用 → x+√x2+1 √x²+1 -dxをx2+1+x=t の置換により求めよ。 よって, したがって Spydx Sidt=logt+C=log(x+1+x)+C -dx= √x² +1 dx = dt から dx (2) √√x²+1 dx = S(x)'√x²+1 dx=x√x ² + 1 = √√√x ² + 1 esindenr √√₁/²+1 dx = f (x²+1)=1 dx x2+1 AMERIC PRACTICE･･・ 195④ x +1dx = dt x² +1 (1) 不定積分 ∫ 1 1 -dx=/dt √√x² +1 111711-1)(x200- 1 = √√x ² + 1 dx-S²/₁² + ₁ dx =x2+x-S- x2+1 *₂7 S√x²+1dx=x√x²+1-(√√x²+1 dx - √√x²³+1 = 2 2- - Dic/)(1- (1) 2√√x²+1dx=x√x³+1+log(√x²+1+x)+C₁ から x2+2x+2 (-)-s-n1(f)+1200x dxnnie同形出現 -dx ゆえに SvxIx1/(x+1+log(x+1+x)}+C 1/2-C とおく。 6 ino ros 基本187 ◆x+√x²+1=tから t -dx=dt √√x² +1 √x²+1>|x| から t>0 ◆ 部分積分法 1)+x800x ACI- 3 [=1²01 1=x200 J* =dxをx2+a+x=t(aは定数)の置換により求めよ。 なりに立つことを証り 1161 (2)(1) の結果を利用して,不定積分x2+2x+2dx を求めよ。 C (1

至急です！ なぜ1/tになるのでしょうか？ また、青線はなぜ成り立ちますか？

去 x=g(t) Tal F(x)] のとき 7 336 例題 200 定積分の置換積分法 (1) (丸ごと置換) ①①①①① 次の定積分を求めよ。 a) Sx√1-x² dx A CHART G (1) よって O SOLUTION | logx=t とおくと | (3) S T = dx ①xの式の一部をもとおき, C を求める。 dt x²=t とおくと, 1-x=2 から -2xdx=2tdt よって xdx=-tdt xt の対応は右のようになる。 ゆえに (2) 定積分の置換積分法 おき換えたまま計算 積分区間の対応に注意 ②xの積分区間に対応したもの積分区間を求める。 [③ 与式をの定積分で表し, tのままで計算する。 なお(2)は公式 (x) (2) x-2x+2=t とおくと 2(x-1)dx=dt よって (x-1)dx= x= 1/2 d xtの対応は右のようになる。 021² S²x²2x²+2x==2=1==1[10gt]; -dx= S₁ √2²²x²² x-1 x2-2x+2 -dx sin2x 3+cos2x 1 の対応は右のようになる。 S²108x dx=Stdt=[2] = 1 PRACTICE･･･ 200② 次の定積分を求めよ。 -dx dx Sx√1-xdx=S(-1)dt=S,edt=[-13 ff(x)dx=-{f(x)dx 別 (2) (与式) = 1/5² (x² - 2x + 2)² dx 2x2x+2| -[log(x²–2x+2)] |=1210g2 -dx=log|g(x)|+C を用いて計算してもよい。 -d= MOTTUJC [ 青山学院大 ] 1 (log2-log1)= log2 2 -dx=dt 0→1 1-0 (3) Salogxdx x 1→2 1→e t 0→1 Ap.310 基本事項」 1 x とおいても計 算できるが、 丸ごとおき 換える方がスムーズ。 (2) Sex (4) sin' o's dr if 定積分の置換積分は 不定積分とは異なり 変数 を元に戻す必要はない。 横浜国大 [ 青山学院大 ] 311 78 22 定積分の置換積分法, 部分積分法

1の⑴で（i)（ii）(iii)にかいてある条件を満たす満たさないはどうしてわかるのですか？ なぜ上に凸やh(x)=0のとき条件を満たさないのですか？

IⅠ 定数a に対してf(x)=ax²+3a,g(x)=2ax-aとするとき, d- (1) すべての実数xについてf(x) > g(x)が成り立つとき (2) 少なくとも1つの実数xについて f(x)>g(x)が成り立つとき,の条件を求めよ。 の条件を求めよ。実 M (早稲田大) del letto II 1≦x≦2であるすべてのxに対して、不等式x+ax+a-2≦0が成り立つような定数a (大の値の範囲を求めよ. (近畿大) [Solution I (1) すべての実数xについて f(x) > g(x) すなわちf(x)-g(x) > 0 が成り立つのための条件を考える。) f(x)-g(x)=ax+3a- (2ax-a²)=a(x-2x+a+3)=h(x)とおく. (i) α<0 のとき, y=h(x)のグラフは上に凸の放物線となるから、 条件を満たさない。 36-41 (ii) a=0のとき, y=h(x)=0であるから条件を満たさない. (i) a>0 のとき, y=h(x)のグラフは下に凸の放物線となるから, D とすると, D/4 <0 となればよい. 1- (a+3)<0 よって (i), (ii), (i) から, 求める条件は a>0 19 x (d² + x の判別式を x-2x+a+3=0 a>-2

(2)のやり方が理解できません。教えてください。

394 基本例題 100 n を含む式が自然数となる条件 (1) 360nが自然数になるような最小の自然数nを求めよ。 - がともに自然数となるような最小の自然数nを求めよ。 nº 3 n (2) 40' 81 CHARTO SOLUTION nの式が自然数となる条件 素因数分解からスタート (1)√(n の式)が自然数nの式)が平方数(ある自然数の2乗) 解答 (1) √360nが自然数になるには, 360nがある自然数 2)360 の2乗になればよい。 2) 180 360 を素因数分解すると 2)90 360=23.32.5 口 360 に 2.5 を掛けると 40 nº 81 2･32･5²=(2･3･5)2 よって 求める自然数nは n=2.5=10 (2) 40=25,81=34 であるから, 求める自然数nは2,3,5 を素因数にもつ。 2+0) + 6(1 +500) + U 最小のnを求めるから, a,b,c を自然数として 1 n=24.3°・5°とおいてよい。 n2_224.326.52c 2³.5 = (2) 分数の値が自然数 分子が分母の倍数 ² 40=2.5の倍数, n° が 81 = 34 の倍数であるから, nは2, 3,5を素因 数としてもつ。...…. 0 素因数分解したとき 各指数がすべて偶数。・・・・ 234.336.53c 34 が自然数となるための条件は 2a ≥3, 2c≥1 ・① が自然数となるための条件は 3624 2 ① ② を満たす最小の自然数a,b,cは ...... 00000 3) 45 3) 15 5 a=2,6=2,c=1 よって 求める自然数nは n=2²-3².5¹=180 p.388 基本事項 (1) 23･3･5 を変形すると 2･32･24･5 よって, 自然数の形の 最小の自然数にするため には,25を掛ければよ い。 ◆ n² は 23.5の倍数 3の倍数｡ (2ª.3b.50) ² =220.326.52c ◆約分して分母が1にな る。 62, cz PRACTICE･･･ 100② (1) 378nが自然数になるような最小の自然数nを求めよ。 n² n - がともに自然数となるような最小の自然を求めよ。 675 512' 675 基 (1) CH 解答 (1) 630 (2) NO ab Nの正 [1] a 正の これを [2] a+ 整理す これを このと PRACTICE (1) 756 0 (2) 自然 ない。 数N

黄チャート数2 160（2） 添付画像を見てください。 丸の箇所から波線の箇所に計算する時に、どうしても符号が逆になってしまいます。 私も計算方法ではアウトですか？

0000 3x=t& ことに で処理 基本 例題 160 対数 不等式の解法 (1) 次の不等式を解け。 (1) 10ga(x+3) <3 (3) (logsx)+logsx-620 図 おき換え [logax=t] でもの不等式へ CHART SOLUTION 対数不等式 真数の条件,底αと1の大小関係に注意・・・・･・・ ① 対数をまとめて真数の不等式へ 解答 (1) 真数は正であるから 不等式を変形して a>1 のとき 10gap<logaq0 <p <q 大小一致 0<pg 大小反対 0<a<1のとき logap >logaq (3) logsx=t とおくと、もの2次不等式の問題となる。 2は1より大きいから ① ② から x>-3 かつ x<5 (2) 真数は正であるから ゆえに 不等式を変形して -は1より小さいから x+3>0 ...... ① 10g(x+3)<10g8 x+3<8 ··・・・・ ②② 大きいなど (2) 210g÷x<log (2x+3) (3) 真数は正であるから x>0 不等式は ゆえに x>0 かつ 2x+30 x>0 log/x<log/(2x+3) x2>2x+3 図底 よって (x+1)(x-3)>0 ゆえに x<-1, 3<x ····· ② ①②から x>3 ****** (logsx+3)(10gsx-2)≧0 PRACTICE･･･ 160② 次の不等式を解け。 (1) log (1-x)>2 よって-3<x<5 0.0*³5 0<x≤17, 95x ② から 27' logsx-3, logix 10g3x≧2 32 = X すなわち 10g3x 10g 27 log39≤log3 x 3は1より大きいからさ・・・・② 00000 p.232 基本事項 4. 基本 158,159 底を2にそろえる。 -3 対数の大小と真数の大 小が逆になる。 -10 3 ←logsx=t とおくと 01 27 243 t+t-6=(t+3)(t-2) 9 x (2) 210go.5(x-2) >10go.5(x+4) x 5章 【(3) 神戸薬大 (4) 福井工大] 19 対数関数

2、なぜ答えが④になって他の選択肢が❌なんですか？

1. It served as the clue that ( 2 brought up 1 applied for 2. Many accidents 1 caused from m (on giyd ) the solution of the case. 3 gave out (nm) the icy conditions of the road. $4 3 caused by 2 resulted in Juods slgqosq 4 led to ARSA 4 resulted from gew) el li ylineups

二次関数の場合分けが理解できません。最大値の時だけ中央値を求める理由も分かりません。中央値がなくても最大値は分かると思うのですが、それではだめなのですか？ 色々調べても納得する答えがなかったので中央値が必要になるなどという証明？例？みたいなのを教えてほしいですm(_ _)m

基本例題 61 定義域の一端が動く場合の関数の最大 最小 aは正の定数とする。 0≦xa における関数f(x)=x^²-4x+5 について (1) 最大値を求めよ。 (2) 最小値を求めよ。 CHARTO SOLUTION [1] 軸が定義域の 中央より右 定義域の一端が動く場合の2次関数の最大・最小 軸と定義域の位置関係で場合分け [軸 定義域が 0≦xsa で あるから､文字αの値 が増加すると定義域の 右端が動いて,xの変 域が広がっていく。 し たがって、αの値によ って、最大値と最小値をとるxの値が変わるので場合分けが必要となる。 (1) y=f(x)のグラフは下に凸の放物線であるから, 軸からの距離が遠いほど の値は大きい (p. 100 INFORMATION 参照)。 したがって, 定義域 0≦x≦a の両端から軸までの距離が等しくなる (軸が定義域の中央に一致する) ようなαの値が場合分けの境目となる。 最大 軸 定義域 の中央 x=0x=a [2] 軸が定義域の 中央に一致 軸 最大 Ap.97 基本事項 基本 58 |軸 軸が定義域 の外 FT 区間の 右端が 最小 x=0 定義域の両 端から軸ま での距離が 等しいとき 最大 定義域 の中央 x=a [5] 軸が定義域 の内 [3] 区間の 右端が 動く 基本 62,63 V 軸が定義域の 中央より左 軸 (2) y=f(x)のグラフは下に凸の放物線であるから、軸が定義域 0≦x≦に含 まれていれば頂点で最小となる。 したがって, 軸が定義域 0≦x≦a に含まれ るか含まれないかで場合分けをする。 [4] 最小 11 [最大] 定義域 の中央

どうして〇をつけてるところは、 このような符号になるのでしょうか？

基本例題 86 2次不等式の解法 (2) 次の2次不等式を解け。 (1) x²-8x+16>0 (3) x2-4x+8≧0 CHART SOLUTION 特殊な2次不等式 不等式の左辺を基本形に 不等号を等号=におき換えた2次方程式の解 が重解x=αをもつ, または実数解をもたな い場合である。 2次方程式 ax²+bx+c=0 の判別式をDとすると左辺の2次式は D=0 のとき ax2+bx+c=a(x-α)2 D<0 のとき ax²+bx+c=a(x-p)^+α (2) 4x²+4x+1≧0 (4) -3x²+12x-13≧0 ) x2-8x+16=(x-4)2≧0 よって、不等式 x2-8x+16>0 の解は 4 以外のすべての実数 4x2+4x+1=(2x+1)2≧0 よって、不等式 4x2+4x+1≧0の解は 1 x= 2 x2-4x+8=(x-2)²+4>0 (a>0ならg>0) この変形やαの正負, 頂点の位置からグラフを判断し、 不等式の解を求める 11+ D=0 (2) a SY p.134 基本事項 x (実数) 2≧0 x D<0 ←D = 0c を( (148) =(1-m)(+税) (3) グラ ある (1) 別 (3

四角で囲ってあるところって公式ですか？なぜ相似比を二乗したら面積比になるか分かりません

二変形 域の右! 定義域の方 る。 -5 内にお 最小と の技 基本例題 64 最大・最小の文章題 (1) 00000 BC=18, CA=6である直角三角形 ABC の斜辺 AB 上に点Dをとり,Dか ら辺BC と CA にそれぞれ垂線 DEとDFを引く。 △ADF と△DBEの面 積の合計が最小となるときの線分 DE の長さとそのときの面積を求めよ。 基本 58 CHART O SOLUTION 文章題の解法 最大・最小を求めたい量を式で表しやすいように変数を選ぶ DE=x とおくと,相似な図形の性質から△ADF, △DBEはxの式で表される。 またのとりうる値の範囲を求めておくことも忘れずに。 解答 DE=x とし, △ADF と△DBE の面 積の合計をSとする。 0<DE=FC <AC であるから 0<x< 6 ...... △ADF= 同様に, △ABC よって ゆえに,面積は (6-x)².54-3-(6-x)² = AF=6-x △ABC △ADF であり, △ABC: △ADF=62: (6-x) 2 △ABC=1/2･18･654 であるから △DBE= B S=△ADF+ △DBE 3 -{(6−x)²+x²} 2 62 △DBE であり,△ABC:△DBE=62: x2 x² 3 62.54= 2x² AS 54% D 27 x 0 F(00) .(0.8) (辺の長さ) > 0 C =3(x2-6x+18) 3 6 x =3(x-3)2 +27 よって, ① の範囲のxについて,Sはx=3で最小値 27 をと る。ゆえに, DEの長さが3のとき, 面積の最小値は 27 である。 ◆xのとりうる値の範囲。 相似比が min 面積比は²: n² ■三角形の面積は 1 2 107 TORE ×(底辺)×(高さ) 別解 長方形 DECF の面積 をTとすると, Tが最大に なるときSは最小となる。 DF=3(6-x) から T=x・3(6-x) =-3(x-3)2 +27 0<x< 6 から, x=3でT は最大値 27 をとる。 よって, DE の長さが3の とき, Sは最小値 1/1･6･18-27=27 をとる。 3章 2次関数の最大・最小と決定