基本例題159 図形の分割と面積 (1)
次のような四角形ABCD の面積Sを求めよ。 8日
平行四辺形ABCD で, 対角線の交点を0とすると
(1)
AC=10, BD=6√2,∠AOD=135°
(2) AD//BC の台形 ABCD で, AB=5,BC=8, BD=7,∠A=120°
指針 四角形の面積を求める問題は, 対角線で2つの三角形に分割して考える。
(1) 平行四辺形は,対角線で合同な2つの三角形に分割されるから S=2△ABD
また, BO=DO から △ABD = 2AOAD よって, まず △OADの面積を求める。
(2) 台形の面積=(上底+下底)×高さ÷2 が使えるように, 未知の量である上底ADの
長さと高さを求める。 まず, △ABD (2辺と1角が既知) において余弦定理を適用。
CHART 四角形の問題 対角線で2つの三角形に分割
解答
(1) 平行四辺形の対角線は, 互いに他を2等分するから
A=1/AC=5, OD=
D=1/2BD=3√2 A
合
したがって
AOAD= OA-OD sin 135°
15
2
AD²+5AD-24-0
(AD-3)(AD+8)=0
135°
ゆえに
よって
AD > 0 であるから
AD=3
頂点Aから辺BCに垂線 AHを引くと
AJOX
) △ABD において, 余弦定理により
72=52+AD²-2・5・AD cos 120°割する120%
5
7
B
= 1/2.5-3√/2 √/2=
1つにしちゃ
よって S=2△ABD=2･2△OAD=4.15=30X[練習 159 (2)参照]
pbe 42
S=AC-BD sin
B H
D
p.245 基本事項 2. 基本 158
(RA+I) Danis
AH = ABsin∠B, ∠B=180°∠A=60°
CELE 851 8
527 S=²(AD+BC)AH=(3+8).5 sin 60°=
C
(*) △OAB と △OAD は,
それぞれの底辺をOB, OD
とみると, OB=OD で, 高さ
が同じであるから、その面積
も等しい｡
[参考] 下の図の平行四辺形の
面積Sは
55√3
4
247
B
| AD // BC
C
(上底+下底)×高さ÷2
