前節においては有限区間における有界な関数の積分を考えた。 この節では,
$3 広義積分
113
n-1
In =
-In-2 (n22).
n
In
-Lh-3. In-e
(m-2
0=x/2, h = 1 より (26) を得る。
n(n-2).
n(n-2).
T。
n
…3-1 (n 奇数)
……4-2 ( 偶数)
nENに対して,
n!!:=
M- n-3.
n
2T
1-2
n-Ln-3.
れ-2
3
とする。このとき, (26) は次のようにかける。
「h
年2
Tw2
(n 偶数)
2
こ4TA
M-L-2.In-4
n
In =
1-4 u
(まスラ0)
(n 奇数)。
0<とく要
= h-」.h-2
市困> さて,(O, t/2) で、sin?n+1x
ゆえに, 上記の結果より,
i. A
sin2n x < sin?2n-1 x であるから, I2n+1 < 12n < Izn-1.
(:0<qnk<)
(n=,t,2,
(2n-1)!! π
2
よって,
1
(2n-1)!! π
1
(27)
2n+1 (2n-1)!!
2
2n (2n-1)!!
よって
れ
)1u
(28)
21+1 t to
2n+1
1
2
1
2
2n+1
2n T
Dah
π
ゆえに
しはさ4うち。里さり、
2
2
= lim 2n.
J(2n-1)!!]?
(2n(29)
Jen Len
方on-! =T
n→0
これから,
i(に)T
所(an-)! =STE
1
Vェ= lim
22n(n!)?
= lim
Vn (2n)!
(30)
ウォリス
CWallis)
これをワリスの公式という.
ニこて
Vn (2n-1)!!
1em)
n→0
n→0
(2n)!
(nコ
(2n)!! -@n)-2n-2).4
=An-cn-t) 2·よ
問9
Vれ (n→).
An!
問 10 (29) から次の式(これもワリスの公式という)を導け。
1
コ
1
(2n-2)?
1
2
lim {1
22
(2n)?
m→0
22
42
62
$3 広義積分
