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• 10 外心
三角形ABCの3辺の長さをAB=4, BC=3, CA=2 とする.この三角形の外心を0とおく.
(1) ベクトル CA と CB の内積 CA・CB を求めよ.
(2) CO=aCA + 6CB をみたす実数 α, b を求めよ.
外心の求め方 外心の定義 (OA=OB=OC) を用いて求めてみよう.
例題では|OA|=|OB2=|OC|2 を CA, CB, a, b で表して a, b を求め
ればよいのであるが,素直にOA=CA-CO=(1-4) CA-6CBとして
計算すると式が膨れてしまう.
(信州大・理一後)
|OA|=|CA-CO|=|CA|2-2CA・CO4 | CO 2 としておくことがポ
イントで,これがCO2に等しいことから2CA･CO-|CA | となる。
これに CO=aCA+bCB を代入する(aとbの関係式が得られる)。
0
B
同様に|OB|=|OCからもαとの関係式が得られ,この連立方程式を解けばよい.
解答
(1)|CA-CB|=|BA|2であるから,
|CA2-2CA・CB+|CB|=|BA|2
..22-2CA・CB+32=42
CA·CB=
22+32-42
2
3
==
2
e
CA ACT=0
A
(2) 0から A, B, Cまでの距離が等しいので,
|OA|=|OB|=|OC|2
..|CA-CO|=|CB-CO|=|CO|2
..
|CAP-2CA・CO+|CO|=|CB|2-2CB・CO+|CO|=|CO|2
最左辺 =最右辺, 中辺=最右辺より,
2CA·CO=|CA|2, 2CB･CO=|CB|2
これらにCO=CA+6CB を代入すると,
2(a|CA2+6CA•CB)=|CA|2, 2 (aCA•CB+6|CB|2)=|CB |2
(1)で求めた値などを代入して,
3
2{a·4+6 (-2)}-4, 2{a⋅(-1)+6-9)=9
∴.8a-3b=4 .......... ①, -3a+186=9
②÷3よりa=66-3...... ③ で,これを①に代入すると
8(66-3)-3b=4
28
.. 45b=28
.. b =
45
28
11
これを③に代入して, α=6·
-3=
45
15
COR=0
C. (c)
問題文の CA, CB を見て,Cを
始点に書き直す。
=0
CA (CA - PCA + CD) -
CAP) CA +&CB=0
この式は次のようにして導くこ
ともできる.
2
A
0
CACO=CA・CO・cos/Cである.
0 から CAに下ろした垂線の足を
Hとすると,HはCAの中点で
Cocos ∠C=CH=CA/2
よって,
CA·CO=CA·CH=CA2/2
CB・COも同様.
10 演習題(解答は p.27 )
△ABC において AB = 1, AC=2と1 /BAC=
