証
109 定点からの距離の比が一定な点の軌跡
2点A(-4, 0, B2, 0) からの距離の比が2:1である点の軌跡を求めよ。
p.174 基本事項 ■ 2
指針
例題
定点A(-4, 0), B(2,0 )
条件を満たす任意の点を P(x,y) とすると、条件は
このままでは扱いにくいから, a>0,6>0のとき,a=b⇔a=b² の関係を用いて
AP:BP=2:1
AP:BP=2:1⇔AP=2BP⇔AP'=4BP
として扱う。 これを x, の式で表すと, 軌跡が得られる。
軌跡である図形 F が求められたら, 図形F上の任意の点Pは,条件を満たすことを確
認する。
CHART
条件を満たす点をP(x, y) とする
AP: BP=2:1
AP=2BP
AP2=4BP2
よって
すなわち
したがって
軌跡 軌跡上の動点 (x,y) の関係式を導く
(x+4)²+y²=4{(x−2)²+y²}
x2+y²-8x=0
整理して
ゆえに
すなわち
x2-8x+42+y2=42
(x-4)2+y2=42,
y4
2
B
2
P(x,y)
18 x
175
<AP > 0, BP > 0 である
から平方しても同値。
よって, 条件を満たす点は,円 ①上にある。
逆に、円①上の任意の点は,条件を満たす。
したがって、求める軌跡は
A
中心が点 (4,0), 半径が40円・
注意 「軌跡の方程式を求めよ」 なら, 答えは ① のままでよ
いが、 「軌跡を求めよ」 なので、 Aのように、答えに図
形の形を示す。
2
3章
<x,yの式で表す。
AP2={x-(-4)}+(y-0)²
BP2=(x-2)+(y-0) 2
1989軌跡と方程式
①の式を導くまでの式
変形は,同値変形。
円(x-4)2+y²=4を答
えとしてもよい。
アポロニウスの円
上の例題の軌跡の円は, 線分ABを2:1に内分する点(0, 0), 外分する点 (8, 0) を
の両端とする円である。
の距離の比が min(m>0,n>0, m≠n) である点の軌
である。こ
