鉛筆で書いてあるところの解釈は合ってますか？

体 =) 考 8 線分の回転 ryz 回転してできる曲面と2つの平面 z = 1およびz=-1で囲まれた立体をAとする 空間内の2点P(0, -1, 1) Q(1, 0, -1) を通る直線を1とし, 直線を2軸の周りに (名古屋市大薬 / (3) を削除) ((1) 立体 A を平面z=0で切った断面Bの面積Sを求めよ. (2) 立体Aの体積を求めよ. 回す前に切る 回転体の断面を考えるときは,回転前の図形 (例題では 1) と断面の交わり (右図の点R) を求め, それを断面内で回転させる. 回転 体の断面は断面の回転体と同じ、つまり回してから切るのと切ってからす 境界は図の点Rを軸を回転軸として回転させたものだから, 断面Bは中 のは同じなので簡単な方 (回す前に切る) を採用する。 例題 (1) では,Bの 心がO, 半径ORの円 (周と内部) になる. Zi P (B R z=0 0 体積は微小体積の和 積をS(t) とすると,Aの体積は∫_S (t) dt となる. 微小体積 S(t) ⊿t の和が全体の体積, と理解しよう. 例題で,立体A を平面 z=t で切った断面の 厚さ、 z=t+at z=t 面積S(t) 解答 線分PQ上の点を X とすると,0≦s≦1 として OX=sOP+(1-s) OQ 1 -s) =s ( 1 P 0 0 2s-1, と書ける.このXが平面z=t (-1≦t≦1) と線分 PQ HP X -1 t+1 の交点になるとき, 2s-1=t S= 2 cote, x(127-1+1) り z軸と平面z=tの交点をH(0, 0, t) とする. 立体 A を平面 z = tで切った 断面は,中心がH, 半径がHX の円 (周と内部) だから,その面積S (t)は *(1+(1)}ーズ S(t)=πHX2=π (1)S=S(0)= π 2 電源とさく 2 x+y2 1+t2 2 (1) 例題の演習題の線分 PoPが回 転してできる曲面は回転一葉双 曲面と呼ばれている (円錐台では ), 演習題の解答のあとの注 を参照 -T)=(1) ( -16(1)2-7 1+t2 dt 関数 2 12 (2) V=S(t) dt=xf 1+1² dt=x-21+ d -1 2 =π YZ 空間に t=πt+ 4 ==π 08 演習題(解答は p.154) 2 1)を考え,β-α = 1 を 例題と同じ方針、

回答のやり方と少し違った解き方をしたのですが、これは計算ミスで間違えているのか、考え方がそもそも間違っているのかどっちでしょうか？ 字が汚くてすいません(;_;)

一辺の長さが2の正四面体 OABC において, 辺 ABの中点を M, 辺BC を 1:2に内 分する点をN, 辺OCの中点をLとする OA.OB, (1)3点L,M,Nを通る平面と直線 OAの交点をDとする. OD をd 表せ. とおく. OC (1) 平面 , ,こを用い て 2の② 平さく(2) DN

垂直では無いけれど同じ直線上にあるから長さの比が面積の比とみなせるという解釈でいいですか

(3) ①でt=3 とすると, 30A +40B =-50C [Cの位置がわかるように変形] 1 .. OC=-(30A +40B) 7/3 5 4 OA+ OB OD=327 4 7 OA += OBでDを 7 定めると, Dは線分AB上の点であって C 20 に (2001) A020 DE B == OCOL - であるから,OD:OC=5:7 5 従って, AB を底辺とみると, △OAB と CAB の高 TA さの比 (すなわち面積の比) は 5:(5+7)=5:12 8A1 また,t=3のとき(1)より OA・OB=0, つまり ∠AOB=90°である. 以上より, 30

3番について、 体積を求めるなら、π∫《Y1(x)-Y2(x)》²dxとなると思ったのですがなぜ回答のようになるのでしょうか？ P.S. 書いた後に気づいたんですけど、余分な分を取り除く作業をしないように計算しているという事ですかね

● 5 回転体の体積 媒介変数型 曲線 C は媒介変数を用いて=t-sint, y=1-cost (0≦t≦2) と表されるとする.また, 曲線 C2 はx=t-sint, y=1+cost (0≦2m) と表されるとする。 (1) CC2は直線y=1に関して対称であることを示せ. (2) CC2 の交点の座標を求めよ. (3)とC2で囲まれた部分を軸のまわりに1回転してできる回転体の体積を求めよ。 (宇都宮大工) (x(t), y(t)) 曲線が媒介変数表示されている場合の回転体の体積 考え方は面積と同じ t=ti = で、右図の場合,Server-Sony (1) (1) dt(実際の計算は変数を t=to to dt にしておこなう)となる. 解答量 れらはx座標が等しくy座標の平均が (1) C. 上の (t-sint, 1-cost) と C2 上の (t-sint, 1+ cost) について,こ (1-cost)+(1+cost) -= 1 だから直線 P19 (t-sint, 1-cost) 2 y=1 に関して対称. よって C1 と C2 は y=1 に関して対称. dx dt -y=1 (2) x=t-sintのとき =1-cost≧0だから, tが増加するとも増加する。 P2(t-sint,1+cost) これと(1) より と C2 の交点は y=1上にあり,このとき cost=0 すなわち ← P1, P2 (x 座標が が増加すると π 3 t= 11/28 202である。交点は (1-1.1)(+1.1) 3 2 (3) Cy=y(x), C2 をy=y2(x) とする. π 3 << 21/2xの範囲で1cost<0だから y1(x)>y2(x)となる.また,(1)を用いると 1(x)-2(x)=(y₁ (x) + y 2 (x)} {y₁(x)-2(x)} =2{y1(x)-y2(x)} となるから、求める体積は 3 +1 37 +1 YA P₁(t) C₁ 1 0π -1 2 X 同じ) は右に動く.y=1に関す る対称性も考えると, P1=P2 な らば,その点のy座標は1. C2Cはサイクロイドである。サイ クロイドの概形は既知として,例 えば (2) は 「サイクロイドの概形 とy=1に関する対称性から, 交 点はy=1上にある」 としてもか まわないだろう. 2π 3匹+1 π P2(t) 2 √***³¹ñ{y₁(x)² — y²(x)²} dx=2xzz(y₁(x)=2(x)} dx =2π 2 3-21-2 3 {(1-cost) (1+cost)} 3 -dt=2x2(-2cost) (1-cost)dt 1 2 dx dt 2 sin 2t 2 π af*(-2cost+(1+cos2t))dt=2x|-2sint+t+ =2π 2 =2(+4) (解答は p.152) 3-2 2 π 交点に対応するtの値は, t=- π 3 π 2' 2" 2cos2t=1+cos2t

駿台の青パック高校限定版を学校で実施するらしいのですが、これは全国レベルで判定はでるんでしょうか？ 青パックは本屋さんでもうられているものなので、校内で出る、あるいはただの共テ練習という事ですかね？

4番について ①Dは直線OA上にあるからbの係数は０になるというのはどういうことですか？ ②また、その次の式変形もよく分かりません、 ③メネラウスの定理を使ってとくことができますか？ 質問が多くなってしまって申し訳ありません 部分的に解答でもokです

●8 内積/垂直(2) 三角形 OAB において OA=d, OB=とし,||=5,16|=4, ∠AOB=60° とする. 点Aから 対辺 OBに下ろした垂線をAHとし,∠AOBの2等分線が線分AHと交わる点をCとする.さら に、線分 BC の延長が辺 OA と交わる点をDとする。 このとき, (1) ab= (3) OC=E a+b (2) OH- (4) OD'= = 16 垂線の足のとらえ方 右図のように、直線 OX に点Y から垂線を下ろし、その 足をHとする. OH を OX と OY で表そう. OH=tOX とおくと, HY=OY-OH 20 と OX が垂直だから, (OY-FOX)OX=0 OY.OX=0X12 (日大生産工) これよりt= OX OY |OX|2 (これは実数), OH = OX OY 10X12 -OX となる. →X 0.0 H 解答言 |a|=5, |6| = 4, ∠AOB=60° (1) a+b=|a||b|cos60°=5·4- =10 1 2 (2) OH = s とおく AH⊥OBより AHOB=0 (OH-OA) OB=0 B(b) 4 H (sba) b=0 30° 前文のOH の式を正確に覚えら れるならそれを使ってもよいが, OH = so とおいて(前文の式を 導くように解く方が間違えにくい だろう.なお, △AOH に着目す 30° 10 5 よって,s= 5 OH = -b D 152 42 8' 8 5 4. るとOH=OAcos60° 5 2 = となる. (a) これを用いて, (3) OCは ∠AOB の2等分線であるから AC:CH=OA: OH であり, ∠AOH=60° より OA OH=2:1である. 「OHはOBと同じ向きで大きさ 5 が のベクトル, OBと同じ向 5 つまり AC:CH=2:1で (2)より OH- 一 だから 8 = 3 3 -> 5 OC-120A+2/20H-1210+12 = a+ (4) Dは直線 BC 上にあるので, きの単位ベクトルは10B だか 5 OH=5.OB=OBJ (80(1-0)+701240018 D としてもよい。 5 OD=OB+tBC=OB+t (OC-OB)=万+t a+ -b-b ・① 3 と表すことができる. Dは直線OA上にあるから①のの係数は0であり, 1= 5 12 1+1 (1-1)=0 12 =0 t= 2 7 これを① に代入すると, OD = = 注 解答前文のOH には名前がついていて,「OHは, OY の OX への正射影 ベクトル」 (OXに垂直な方向からOY に光を当てたときに OX 上にできる OY の影が OH, という意味)。

4番について、 2つ目の図の隣にある文章で、両方を満たすと書いてありますがこの両方はなんのことですか？

05 演習題(解答は p.26) 平面上に3点0,A,Bがあり, OA|=4,|OB|=5, |AB|=7を満たしている。この とき 内積 OA・OB は (1) であり,三角形OAB の面積は (2) である。 また,実数 s,tに対して点P を OP =sOA+tOB により定めると,s, tが s≧0, t≧0, 1≦stt≦3 を満たすとき, 点Pが存在する範囲の面積は(3) であり,s, tが 1930-30 s≥0, t≥0, 0s+t≤1, 0≤s+4t≤2 を満たすとき,点Pが存在する範囲の面積は (4) である. (図る (明治学院大)る

4番は二乗しないと計算出来ないのですか？ また最小値がなぜX＝マイナス1なのでしょうか？ -2じゃないんですか？

xy 平面上の曲線Cが媒介変数 2 (o≧ts) によってェ=2cost-1, y=sin2t と表さ れる. 以下の問いに答えよ. (1) xの値の範囲を求めよ. (2)yxの式で表せ. (3)=2のときのC上の点をPとし,PにおけるCの接線を1とする。 1の方程式を 求めよ. (4) Cの方程式をy=f(x), lの方程式をy=g (z) とおく. (1) で求めたェの範囲に おいて,f(x) ≦g(x) が成り立つことを示せ. (5)≦0においてCとと軸で囲まれた部分の面積を求めよ. (京都府立大・ 生命環境) (2) cost==(x- 1/2( (4) {g(x)}-{f を計算してみよう。 (5) f(x)の積分 例題と同様に特殊基 数の形. 120

1番について Yが実数解を持つ範囲がXの取りうる範囲だから下のように計算しているという解釈でいいですか？

7 陰関数yをxで表す 曲線2-2.xy+2y2=4について, æのとりうる値の範囲は (1) であり、 また, この曲線で囲 (芝浦工大工/途中省 をæで表して積分 曲線の概形を調べることなく面積を求めるタイプの問題 C f(t) れる部分の面積は (2) である. である. 右図の曲線 C で囲まれる部分の面積を求める場合, 直線x=t との交わりの 長さず (1) がわかれば 'f(t) d となる.そして,f(t)は「Cの式に=tを代入し たものを」の方程式とみるとき, 大きい解から小さい解を引いた値」 である. 2次方 程式を解くので根号が出てくるが、積分できるものになっている。 例題および演習題 (ア)では,円(の一部) の面積とみるのがよい. 解答 合 x²-2xy+2y2=4をりの方程式とみると2y2-2xy+(z2-4)=0 . y= x±√x²-2(x²-4) x±√8-x² 2 == 2 (1) 上式の の中が0以上になることが条件だから, a x=t b ←上では文字を使ったが、エ 解いてよい. 8x20 -2/2≤x≤2/2

問題の右に書いてある、(2)の文の意味がよく分かりません なぜ原点を通れば求まるのでしょうか？

03 演習題(解答は p.123) zy 平面上の曲線 C:y=x'eについて、次の問いに答えよ. (1) 曲線Cのグラフを描け、曲線の凹凸も調べよ lim xle = 0 であることを使って もよい。 X118 (2) 直線y=mzが原点O以外の点で曲線Cに接するように実数の値を定めよ. (3) (2) のとき,直線 y=mx と曲線 C で囲まれた図形の面積を求めよ (京都産大・理系) (2) (t, tel)にお る接線が原点を通る (3) Oと接点の間で の凹凸は一定ではない が,図から上下がわかる 112