(2)S(t)が
ならば
f0 <t≦a のとき S(t) = t+3t+ 9t
latのとき S(t) =t-3t2-9t+k
J0<t<a のとき S'(t)=-3t+6t+9
(*)
(x)=0
latのとき
S'(t) =3t2-6t-9
である.したがって,(1)より, 0<t<a, a<t のとき
f(t)=3t2-6t-9
となるので, 0<x<a, a<x のとき
<taのとき(t)=f(t),
adtのとき
S(t)=f(t).
f(x)=3x2-6x-9
である。ここで,f(x)は2次関数であるから, すべての実数xに
対して, 2 である.
また, 2次関数f(x) が
0≦x≦aの範囲で f(x) ≦0
la≦xの範囲で
f(x)≥0
を満たすにはf(α)=0 が必要であるから
3a2-6a-9=0
(a-3)(a+1)=0
である. これとα >0より
a=3.
逆に ②③のとき, (**) を満たす.
よって
f(x)= 3 x- 6 xー 9
a=
3
である.
(**)
0<t3のとき
S(t)=(-f(x)) dx
となり, 3<tのとき
=(-3x²+6x+9)dx
-[-x'+x+9]
=-t³+3t²+9t
S(t)=f(f(x)}dx+ 'f(x)dx
=(-3x²+6x+9) dx+(3x²-6x-9) dx
-[-x'+3x'+9x]+[s-3x"-9x],
= t³-3t2-9t+54
となるので,(*)より
k= 54
である.
