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例題 159
約数の個数
(1)(ata)(b+62+ bst ba)(Ci+C2t c3)を展開すると,異なる項は何
個できるか。
(2) 200 の約数の個数とその総和を求めよ、また,約数の中で偶数は何
個あるか、ただし,約数はすべて正とする。
(1)(a+a)(+ bz+ bat ba) (ci+Cztca)
たとえば、(a+az)(br+ bz+ bs+ba)を展開してできる arb,に対して、.
ab.(citcatcs)の展開における項の個数は,3個である。
(a+az)(b、+ bat bs+ ba)を展開するとき,arb, のような項がいくつできるか考
えるとよい。
(2) 1か2か2か2× [1か5か5) であるが,(1+2+2°+2") (1+5+5) を展開すると、
考え方)
2×1,4×1, 8×1,
2×5, 4×5, &×5,
1×25, 2×25, 4 ×25, 8.×25
1×1,
1×5,
がすべて1度ずつ現れる。したがって,約数の総和は、次のようになる。
(1+2+4+8)×1+(1+2+4+8)×5+(1+2+4+8)×25
200=2°×5° より,約数が偶数になるのは,1以外の2°の約数を含むときである
から,2か2°か2° を含む約数の個数を求めればよい。
(1)(a+az)(b;+bat bs+ ba)を展開してできる項
の個数は,2×4 (個)である。
また,(a+as)(b,+bz+ bs+6.)の1つの項Sでb, be, bs, b,の4通り
ab,に対して, a:b·(ci+ca+Cs) の展開にお
ける項の個数は3個である。
よって,求める項の個数は,
(2) 200 を素因数分解すると,
(3+1)×(2+1)=12
より,約数の個数は,
また,約数の総和は,
(1+2+2*+2)(1+5+5)=465
すまた,偶数の約数は, 2か2°か2°を含むもの
mだから, 3×(2+1)=9 より,偶数の約数の個数
は,
コケん
解答
a, az の2通り
市館)
|Ci, C2, Ca の3通り
2×4×3=24(個)
200=2°×5°
第
積の法則
12個
2
11-1 2-1 2°-1 2-1
5|1-5|2-5 2+5'|2-5!
51-5|2-5|2°-5°|2-5°
1
22
2°
偶数になるのは、1以外の
| 2° の約数を含むとき
9個
Focus
約数の個数は,素因数分解し, 積の法則を利用する
a"×6°xc' の約数の個数は,(p+1)(q+1)(r+1)個 (a, b, cは素数)
C
