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等式 20=10"+1 を満たす有理数x, yを求めよ。
35-=53-6 を満たす有理数x, yを求めよ。
底が3,5であるから, 3"=5[(1)] の形にはならないことを用いる。
(2) 方程式1つに変数がx, yの2つ。有理数という条件で解くから, (1) が利用できそう。
(1) 無理数であること の証明では,有理数であると仮定して, 矛盾を導く (背理法)。
13関連発展問題
291
字のどれが最も多く
れ,2,3,………
· と大
ドの法則 という。
られている。
基本 167
っは整数, nキ0) と表される数を有理数 といい, 有理数でない
m
計>実数において
ものを 無理数 という。
れ
p=logm1+)
5章
TOgo , Tog 512
33
m
123456789
(有理数)とおいて, 背理法
関
n
人事例も考えられ
して考えてみる。
条件は
答
3"=5を満たすxはただ1つ存在する。
のxが有理数であると仮定すると, 3*=5>1であるから
〇〇 背理法
事柄が成り立たないと仮定し
て矛盾を導き,それによって
事柄が成り立つとする証明法
(数学I)。
m
x>0で, x=
n
(m, n は正の整数)と表される。n
3ォ=5
よって
両辺をn乗すると
ここで、① の左辺は3の倍数であり,右辺は3の倍数ではな 43と5は1以外の公約数を
3 =5"……
30 0
もたない。このとき, 3と
いから,矛盾。
よって, xは有理数ではないから, 無理数である。
等式から
オ+2yキ0 と仮定すると, ② から
5は互いに素 という。
コ7n に無関係
43*-3-6-5-5-%
3*-0-0)=5-(-2)
3*-y+6=5*+2y
220
-logio9)}
x-y+6
3x+2y =5
42から(3-)
少を有理数とすると,x-y+6, x+2y はともに有理数で
メーy+6
-も有理数となり, (1)により③は成り立たない。
(9)=
4(1)で3"=5を満たすrは
無理数であることを証明し
ている。
の:x+2yキ0 と仮定して,
矛盾が生じたから、
x+2y=0 である。
かれる。
x+2y
ゆえに
4
x+2y=0
このとき,② から
logiok
3*-y+6=1
x-y+6=0
,6を連立して解くと
よって
目いられること
こで, 不正の有
ミ明書類のよう
成り立たない
x=-4, y=2
S治の 81
(p.294 EX120
8E連発展問題
