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基本 例 54 平面上の点の移動と反復試行
右の図のように,東西に4本,南北に5本の道路がある。
地点Aから出発した人が最短の道順を通って地点Bへ
向かう。このとき、途中で地点P を通る確率を求めよ。
ただし,各交差点で、東に行くか, 北に行くかは等確率と
し、一方しか行けないときは確率1でその方向に行くも
のとする。
00000
P
A
基本 52 重要 55
S
求める確率を
A→P→Bの経路の総数
A→Bの経路の総数
から,
5C2 ×2C2
7C3
とするのは誤り!
指針
これは,どの最短の道順も同様に確からしい場合の確率で,本間は道順によって確率
が異なる。
例えば, A111-
→→ P→→
Bの確率は
2 2 2
1.1.1.1.1.1.1=1
A→1→↑↑P→Bの確率は
C D P
111
11
1
1.1=
222 2 2
32
したがって,Pを通る道順を, 通る点で分けて確率を計算する。
右の図のように,地点 C, D, C', D', P' をとる。PP
解答 Pを通る道順には次の3つの場合があり,これらは互いに
排反である。
B
C
D' P'
[1] 道順 AC′ →C→P
この1/2x/1/2×1/2×1×1=(1/2)=1/3
S
8
A
[2] 道順 A→D'′ →D→P
[3] 道順 AP'→P
この確率は ..(1/1) (1/2)x1/2×1=3 (1/2)=1/15
3
[1] ↑↑↑→→ と進む。
16
[2] ○○○と進む。
○には、1個と12個が
入る。
[3] ○○○○↑と進む。
○には、2個と12個が
6
32
よって, 求める確率は
1
3
6
+
16
1
+
8
16
32
32 2
入る。
