εが任意だから赤線のように置かれているのがわかりません🙇‍♀️

n! (2) 1.3.5... (2n-1) ーの例題については, 演習問題2で解説する 1 それでは,ダランベールの判定法で, (i) 0≦r<1の場合に、なぜ 項級数が収束するのか,その証明を入れておくよ。 (i) 0≦r<1の場合 an+1=rのとき,これを-N論法で書き換えると、 n→∞ an >0,N>0s.t.n≧N ⇒ an+1- | a n + 1 = r | << & an となる。 1-L ( > 0) とおいてもいい。 す 20 ここで, e は任意より,c= 2 これが, 証明のコツ n=N,N+1,N+2,... のとき, この部分のみを変 an+1 -r< an 2 水上より1 < an+1. 1-r -r< an 2 an+1<rt an 1 1+r 2 2 = 2 ≦R 0≦r <1より, 1≦1tr<2 1 1+r -≤ 2 2

上から4行目はなぜこうなるのですか？

基本 例題 29 漸化式と極限 (4) *** 連立形 00000 P1(1, 1), Xn+1 1 = 4 4 xn+n, In+1= 5 3 -xn+ 4 面上の点列 Pn(xn, くことを証明せよ。 指針 点列 P1, P2, yn) がある。 点列 P1, P2, 1 5yn (n=1, 2,......) を満たす平 がある定点に限りなく近づくことを示すには,lim, limyn がと はある定点に限りなく近づ [類 信州大 ] p.36 まとめ, 基本 26 n→∞ もに収束することをいえばよい。 そのためには,2つの数列{x},{y}の漸化式から Xn, yn を求める。 ここでは,まず,2つの漸化式の和をとってみるとよい。 (一般項を求める一般的な方法については、解答の後の注意のようになる。) 811 Xn+1= 1 3 xn+ yn ①, Yn+1= 解答 4 1 x n + 1 − y n 5 Yn ② ①+② から Xn+1+yn+1=Xn+yn P1(1, 1) から x+y=2 x=1, y=1 よって xn+yn=xn-1+yn-1==x+y=2 ゆえに yn=2-xn これを①に代入して整理すると 11 Xn+1= xn+ 20 85 32 変形すると 11 32 Xn+1 xn 31 20 31 32 1 また X1 31 31 32 ゆえに Xn =- 31 31/ (-20 n-1 32 1 よって n→∞ また 32 30 limxn=lim no31 31 limyn=lim (2-x)=2- 1+0=and -20))} = 32 Q=-- a+ 32 31 数列{X-3は 1 |Xn+1= xn+ 特性方程式 11 20 8-5 の解 a= 公比 31 ラ 11 31 - 20 818 n→∞ 31 31 比数列。 y=2xから。 したがって, 点列 P1, P2, ...... は定点 31' 31 3230 に限りなく近づく。 一般に, x=a, y=b, xn+1=pxn+gyn, yn+1=rxn+syn (pqrs≠0) で定められる {x}, {yn} の一般項を求めるには, 次の方法がある。 方法1 Xn+1+αyn+1=β(x+αyn)としてα, β の値を定め, 等比数列{xn+yn} 用する。

赤マーカーの部分がなぜこうなるのかわかりません。※ （①〜④）の部分 教えて下さい🙇‍♂️

7 極限が存在するように定数を定める 2x2+ax+a+1 (ア) lim- =bと書けるとき, α = b= 」である. x-2 x²+x-6 (中部) (イ) αを実数とする. a= ] のとき, lim (4x'+x+ax)は有限な値 」をとる. →+∞ (関西大 社会安全, 理工系) 分数式の極限が存在するとき 分母0のとき, 分子 分母 は分子→0でなければ発散する。つまり。 分母 (分母→0で →有限のとき,分子=分子 分数式の極限が存在するとき, 分母→0なら分子→0となっていなければならない. 分子 -×分母→有限×0=0, と説明することもできる 分母 精密に調べる前に (イ)では,“分子の有理化”をするが,変形する前にαの符号を調べておこう。 lim√42+xなので, a≧0のときは与式は∞に発散してしまう。よって&<0でなければならな X100 このときはもは 00-00 不定形では? いことがまず分かる.また,x→∞を考えるときはとしてよい.x2=|x|=xなどとすることが できる. ■解答 SMART (ア) →2のとき, 分母=x²+x-6→4+2-6=0であるから, 分数式の極限値 bのとき,分子→0でなければならない. 覚えない よって, 2･22+α・2+α+1=0であるから, a=-3 2x2+ax+a+1 2x²-3x-2 このとき, (x-2) (2x+1) x2+x-6 x2+x-6 (x-2)(x+3) 2x+1 5 (2 =1 x+3 x-2 5 =1 ← <3a+9=0 する ←分母分子とも, x=2のとき0 なので,ともに2を因数にも (因数定理) r-2で約分され て不定形が解消する. (イ) lim√42+x=+∞であるからa < 0 である. →+∞ (42+x)-(ax)2 √2+x+ax=- √√4x²+x-a ax (4-a2)x²+x (4-a²)x+1 ( 参照. √√4x²+x+ax の分子を有理化 = == √√4x²+x-ax 4+ a ・① 分母が0以外の値に収束するよ IC うに、分母分子をxで割った。 ④ のとき,①の分母→2-α(0) となるから, ①が有限な値に収束する とき, 4-α2=0 1 a <0によりα=-2であり, lim ① = x178 √A 2+2 -a 4 4-α>0のとき ①→∞ 4-2<0 のとき ①→-8

(2)の解答の［1］について質問です。 解答では分母分子をr^nで割っていますが、式を変形しなくても極限は0になると思ったのですが、なぜ式変形をしているんですか？

51rは定数とする。 次の数列の極限を調べよ。 1 (1) r>0 のとき {3+r} (3) r≠0のとき {} 教 p.33 応用例題 2 *(2) キ±1のとき {}

1.2の逆が成り立たない例を教えて欲しいです。

(2) 5 無限級数の収束・発散条件 21.* 8 2= "が収束する liman=0mi 1 無限級数 an n=1 = n→∞ =1-2, 3 8 2 数列{a} が 0 に収束しない 無限級数 2 αn は発散する [補足 n=1 2は1の対偶である。 また, 1, 2とも逆は成り立たない。

(2)と(4)の解き方がわからないので教えてください。

第n項が次の式で表される数列の収束・ 発散を調べよ. 4m²+1 (1) 3- 2n² 2"+5+1 (3) 5" - 2 (2)√2+n-vn (4) log(n+1)-logn

(1)が1で(5)が0なのはわかるのですがそれ以外わかりません。やり方と答えを教えていただけると幸いです。

次の冪級数の収束半径を答えよ。 100 =0 (1) Min(k+1)(k+2th, (2) no 42k (3) 12k+1/4k, (4) koevktk. k=0 (5) nhk. k=1

波線部分が理解できません😿なぜそのように言い換えられるかが不明ですよろしくお願いします🙇

EN論法で, 数列の極限を攻略しよう! 数列と関数の極限 818 一般項an が与えられたとき,その極限liman の問題は高校でも既に勉 強しているね。でも,数列{an}が極限値 αをとることを示す厳密な証明 法として,大学の数学では,e-N論法をマスターする必要があるんだよ。 イプシロン・エヌろんぼう”と読む。 まず,この “e-N論法” を下に示す。 E-N論法 正の数をどんなに小さくしても,ある自然数 N が存在して, nがn≧Nならば,|an-a|< となるとき, liman=α となる。 n→∞ これだけでは,なんのことかわからないって? 当然だね。 ここは,大学 の数学を勉強する上で, みんなが最初にひっかかる第1の関門だから丁寧 に話すよ。 この意味は,正の実数を小さな値, たとえば, c = 0.001にとったとし ても,ある自然数Nが存在して, 数列 41, 2,., an-1, ax, ax+1, … のうち n≧Nのもの, すなわち ax, ax+1, に対して, α との差αが、 (N,N+1,... ε=0.001より小さく押さえられる, と言っているんだね。 ここで,正の実数は連続性と稠密 (ちゅうみつ)性をもつので,こ を限りなく0に近づけていくことができる。 それでもあるNが存在し n≧N をみたす an について, lan -α < が成り立つといっているわけ ら, n→∞のとき, α はαに限りなく近づいてlim=α と言える だね。 納得いった? 818

この問題のActionのところに書いてある、無理関数を含む不定形の極限は、分子または分母を有理化せよというのがなぜなのかが分かりません。どのようなメリットがあるのでしょうか？回答よろしくお願いします。

例題 52 極限と保数決 次の等式が成り立つように、定数a, bの値を定めよ。立た lim{√x2-2-(ax+b)}=0 8+xp+5 x→∞ 8-4 候補を絞り込む (2) a > 0 のとき a = 0 のとき →b ∞∞の不定形 与えられた等式を は-6台)] 満たすのは, この場合のみ。 8-1 ∞+∞∞ 思考プロセス la < 0 のとき α > 0 で考える。 Action» 無理関数を含む不定形の極限は,分子または分母を有理化せよ 解 a≧0 のとき,与えられた極限は∞に発散するからa>0 lim√x2 -2 = ∞, √x2-2-(ax + b) 0 = (x) m {√x²-2-(ax+b)}{√x-2+(ax+b)} √x2-2+(ax+b) -0-0-(1-a²)x2-2abx-(2+b²) == √x2 -2 +(ax+b) x→∞ a < 0 のとき mi lim{-(ax + b)}=∞ x→∞ a = 0 のとき lim{-(ax + b)} = -6 x→∞ TA よって, a≧0 のとき (与式)。 2+62 + (1-α2)x-2ab x 010 2 b 1- +a+ 2 x" x よってx→∞ のとき,これが収束する条件は 1-α2 = 0 a>0より α = 1 であり,このときの極限値は (+x+im{√x²-2-(ax+b)} lim{vx2-2-(ax+b)}=∞ 分子を有理化する。 x→∞より,x > 0 と考 えて、分母分子を x で 割る。 (S) SIS 8 分母のみの極限値は lim 2 2+62 81X x2 +a+ - 26 x x ・26 =1+α lim -b 80+x 2 b 2 1 +1+ 2 であるが, a>0より 0 にならない。 x x ゆえに したがって b=0 a=1,6=0

【数列の極限】青いところで囲んだところが、どうなってその式になったか想像できません、分かりません。教えてください！お願いします

第1節 数列の極限 23 *63 第2項が3である無限等比級数が収束し, その和が-4であるとき, 初項と公 比を求めよ。