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指数関数・対
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(1) t = 2* とおくと, t > 0 であり A
指数関数を含む関数の最小 方程式・不等式
y=4-(a+2)2' +2a
=(2)-(a+2).2' +2a
=ピー(a+2)t+2a
a = 6 のとき, y=t-8t+12 ・･････ ① となるから
y=(t-4)2-4
t>0より,y=¥42,すなわち,2=4より x=2のとき,最
小値 24をとる。
また,① において y=45 とすると
t-8t+12=45
t2-8t-33=0
(+3)(t-11)=0
t > 0 より t=11
オカ
2*=11 より x=log211
次に,①においてy > 0 とすると
t-8t+12>0
(t-2) (t-6)>0
よってt < 2, 6 < t すなわち 2 < 2, 6 < 2*
底2は1より大きいから x < 1, log26 <x Point
log26log (2×3)=1+log23より, 求めるxの値の範囲は
x < 1, 1+log3 <x
(2) y < 0 より
t2-(a+2)t+2a <0
(t-2)(t-a) <0
1 = t² - (a+21t12A
α > 2 より 2 < t < a すなわち 2 <2<a B
A
y=a
一般に指数関数
は正の数全体である。
したがって
t=2* > 0
となる
B
底2は1より大きいから
1<x<logza Point
>2の条件に注意する。
これを満たす整数xの個数が1個であるとき,その整数はx=2 である
から 2 <log2a
底2は1より大きいから 4<a≦8 これはα>2を満たす。
よって <ass
Point
指数関数を含む不等式を考えるときは必ず底と1との大小を考えよう。
底が1より大きいときは,指数と累乗の大小関係が一致するが、 1よ
り小さいときは,大小関係が逆になる。
α>1のとき>axy
0< a <1
*a*>a'<x<y
本間は底が1より大きいことから, 大小関係に特に注意しなくても正
解できるかもしれないが,底が1より小さい問題もあるので気をつけ
よう
(1)
