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発展例題
|2次方程式x-mx+2m=0 が整数解のみをもつような定数mの値と,そ
のときの整数解をすべて求めよ。
方程式の整数解
(=整数の形にする
① 2つの整数解を α, β (α≦β) として、 解と係数の関係を利用。
α+β=m, aβ=2m
②①の2式からmを消去し, ()() =整数の形を導く。
③②で導いた式を,右辺の整数の約数を考える方法で解く。
4,B,Cが整数のとき, AB=C ならば A,BはCの約数
CHART
GUIDE
解答
2次方程式x-mx+2=0が2つの整数解 α, β(a≦B) を | ←α=β のときは,重解を
もっとすると、解と係数の関係から
α+β=m, aβ=2m
もつ。
を消去すると
aß-2a-28-0
22
から
ゆえに
すなわち
......
aβ=2(a+β)
a(B-2)-2(B-2)-4=0
(a-2)(B-2)=4
よって
Bは整数であるから,α-2, β-2 も整数である。
より、α-2≦B-2 であるから,α-2, B-2 の値の組は
(a-2,B2, -2,-2),(1,4), (22)
ですか?
ist (a, B)=(-2.4.2009
このα, βの値の組に対するmの値は、①からそれぞれ
m=-1, 0,9,8
したがって求める の値とそのときの整数解は
m=-1 のとき x=-2, 1 m=0 のとき x=0
m=8のとき x=4
m=9のときx=3,6
←mも整数である。
←一般にxy+ax+by
=(x+b)(y+α)-ab
左の変形では, x=α,
y=β, a=-2,b=-2
としている。
←4の約数は
2章
←m=a+β
±1, ±2, ±4
負の数も忘れないように。
発展学習
←m=0,8のときは重解。
2次方程式の整数解を求める問題の中には, 「整数解ならば実数解であるから,判別式
D≧0」によって,係数の値の範囲をしぼり込んでいく考え方が有効な場合もある。
ただし、上の例題では, 判別式 D=(-m)²-4・2m≧0から m≧0,8≦m となり,
[mの値をしぼり込むことはできない。
]
64 2次方程式x+(m-2)x+10-m=0が整数解のみをもつような定数 m
の値
