数学の確率から漸化式を求める問題について質問です。 写真の2番の問題が分かりません。 解説が写真2枚目なのですが、なんでこんな解き方してるのか考えましたが全然分かりませんでした。どうして奇数まで考えてるのかもさっぱりです、、、 教えてください🙏 お願いします🙇‍♀️

基礎問 136 確率と漸化式 袋の中に 1 2 3 4 5 の数字のかかれたカードが1枚ずつ入っ ている.この袋の中から, 1枚カードを取り出し, それにかかれ た数字を記録し, もとにもどすという操作をくり返す。 1回目か らn回目までに記録された数字の総和をSとし,Snが偶数であ P2 る確率をn とおく. このとき, 次の問いに答えよ. V(1) 1,2を求めよ. (2) n+1をnで表せ V(3) n をnで表せ. +20 =+= 精講 (1) 確率の問題ではこのような設問がよく見受けられますが、これ は単に点数をあげるための設問ではありません.これを通して問 題のイメージをつかみ, 一般的な状態((2)) の考える方針をつかんでほ しいという意味があります. PnPhtls の (2)確率の問題で漸化式を作るとき,まず, 確率記号の右下の文字 (添字)に着 目します.ここでは,n+1の関係式を作るので, n回終了時の状況を スタートにして,あと1回の操作でどのようなことが起これば、目的の事態 が起こるか考えます。このとき,図で考えると式が立てやすくなります。 3) 漸化式の処理ができれば, 何の問題もありません。 解 答

問10の問題です。間違ってるところを教えて欲しいです！

る確率はP(AUB) である。 確率の和を求める場合、 ここで P(A)= 5C2 9C2 = 10 36' 4C P(B)= √ C ₂ = 6 9C2 36 途中で約分しない方が 計算しやすくなること があります。 また,AとBは互いに排反であるから, 求める確率は 10 6_1 4 P(AUB)=P(A)+P(B)= 36 36 36 9 十 = 確率の加法定理 解法のポイント 取り出した玉が同じ色となる事象にはどのような場合があるかを考える。 と 問10 赤玉6個と白玉5個が入っている袋から,同時に2個の玉を取り出すとき,それら が同じ色である確率を求めよ。 p.128 3つ以上の事象についても,それらのどの2つの事象も互いに排反である場合には、 率の加法定理が成り立つ。

解答に載っている解き方が違う方法で書かれていました。問題の内容が違っても考え方は同じだと思ったのですが、何かが違うから違う解き方なのか同じ解き方でできるけどわざと違う解き方で書かれているのか知りたいです🙇🏻‍♀️🙇🏻‍♀️(画質悪くてすみません💦)

第2節 確率 139 (例題22) 復試行の確率の応用 AとBの試合で,A,Bの勝つ確率がそれぞれ 2 9 3 3 であるとす 第 第1章 る。この試合を繰り返すとき, AがBよりも先に3回勝つ確率を求 めよ。 考え方 次の場合に分けて考える。 (解答) [1]3連勝 [2]3勝1敗 [3]3勝2敗 AがBよりも先に3回勝つのは,次の3つの場合がある。 [1] 3連勝の場合 その確率は [2]3勝1敗の場合 (11/ = 27 3 3試合目までにAが2回勝ち, 4試合目にAが勝つ場合である。 その確率は 3C2 12 × 3 3 27 [3] 3勝2敗の場合の時が、み 4試合目までにAが2回勝ち, 5試合目にAが勝つ場合である。 その確率は 4C2 18 × 3 81 [1]~[3] の場合は互いに排反である。 12 8 よって, 求める確率は + + 27 = 81 27 3+6+8 81 = 17 81

反復試行の問題について質問です！ マーカーを引いたところが分かりません。

例題 228 反復試行による点の移動 [1] [頻出 右の図のような, 1辺の長さが1の正六角形ABCDEFAがわか の頂点を移動する点Pがある。さいころを投げて,奇数 B が出ると反時計回りに 3, 偶数が出ると時計回りに1だ け点Pを移動させる。 点Aを出発点として, さいころを 5回投げたとき,点Pが次の頂点にある確率を求めよ。 (2)頂点 C (1) 頂点 D さいころを投げる試行を5回 反復試行 まれD 1101 F 思考プロセス « Re Action 反復試行の確率は、その事象が起こる回数を調べよ 例題 225 点Pが頂点D, Cにあるためには, 奇数, 偶数の目が それぞれ何回ずつ出ればよいか考える。 345 00 日田圃 未知のものを文字でおく 以下 +3 P 1 91 奇数の目がη回出るとする 7 一点Pは反時計回りに 偶数の目は (5-n) 回= だけ移動 819 (1) 頂点 D = ..., -3,3, 9, 15, 正の向き 反時計回り (2)頂点 C =.... -4, 2, 8, 14, 生 さいころの奇数の目は1,3,5の3つであるから,奇数の 3 1 目が出る確率は 6 2 さいころを5回投げて, 奇数の目がn回(nは0≦x≦5 の整数) 出たとすると,点Pは頂点Aから反時計回りに 3n+(-1)(5-n)=4n-5 4n-5: だけ移動する。 このとき偶数の目が (5n) 回出る。 (1)点Pが頂点Dにあるのは, 4n-5を6で割った余りが 3となる場合であるから, n=2,5のときであり,これ らは,互いに排反である。 出発点Aを基準に考える。 4n-5-5-13 n 0 1 2 3 4 5 71115 よって、求める確率は C2 (12) 2(1/2)+(1/2) 5 頂点 B F D B F D 11 32 0.513 (2)点Pが頂点Cにあるのは, 4n-5を6で割った余りが 2となる場合であるが,これを満たす整数nは存在しない。 よって、点Pが頂点Cにあることはない。 したがって、求める確率は 0 S 512 上の表を参照。 0.513

解説にある赤、青、黄玉が1個ずつ出る出方は3P3通りというのはどういうことですか？

の確率を求めよ。 ただし, 引き分けは (1) Aが2勝1敗となる。 (2)Aが少なくとも1勝する。 *117 袋の中に赤玉1個,黄玉2個,青玉3個が入っている。1個取り出してもと にもどす試行を3回行うとき,それぞれの色が1回ずつ出る確率を求めよ。

黄チャートの確率漸化式の問題です。 YouTubeの動画を見ても答えを見ても理解できません。 この問題の考え方をお願いします🙇

n PR さいころを回投げるとき 6の目が出た回数をX とし, Xが偶数である確率をPとする。 (2)P+1 をP を用いて表せ。 ③ 37 [学習院大 ] (1)P1, P2 を求めよ。 (3) Pn を求めよ。 (1)P1は, さいころを1回投げて6の目が出ない確率である。 | よって P₁ = 55 6 P2 は, さいころを2回投げて6の目が出ないか、 または2回出 偶数となるのは、 0 回 る確率である。 2 2 よって P₂ = (5)² + ( 1 )² = 1383 (2) さいころを(n+1) 回投げて, 6の目が偶数回出るのは, または2回 b=lo ゆえり (3)(2 ゆ 62 のいずれかであり, [1] [2] は互いに排反であるから [2] n回投げて6の目が奇数回出て, (n+1) 回目に6の目が 出る [1] n回投げて6の目が偶数回出て, (n+1) 回目に6以外の "回目 5 (+1)回目 目が出る 39 1-Pn × 6 PnPn+1 ×1 (1) って 5 Pn+1=P・ 6 ・Pn+ Peri-Po.2 + (1-P.)-12=2P+1 6 6 (3)P+1= ・Pn+ 2/2Pn+1/2 を変形すると さいころをn回投げて 6の目が奇数回出る確率 は 1-Pn 6 1 2 2 Pn+17 Pn 2 2 NTS CARS = a+ == 6 また Pi - 12 5 1 1 450=18 = a= 2 A STRE 6 2 3 Pn よって、数列{ P-2121 は初項 1.3 公比 1/3の等比数列であるから 1 1/2 n-1 Jei Pn = 2 33 1/2\n-1 1 したがって Pn = 33 + 2 (-S)8-AS

マーカーを引いたところが分かりません。座標nに止まり、裏→裏と出て座標n+2に止まる確率は(イ)の場合に含まれるのはなぜですか？

･･ 318 確率漸化式〔2〕 ...Pn, Pi+1, Pa+2 の関係 Pn+1,pn+2 D 数直線上の原点Oに動点Pがある。 硬貨を繰り返し投げ, 表が出たら2, 「裏が出たら1だけ正の方向に点Pが進む。 点Pが座標nにちょうど止ま ることがある確率をn とする。 ① Deta を Duti, Dr を用いて表せ。 (2) by nを用いて表せ。 図で考える 座標n+2に止まるのは右の図のような場合がある。 (イ) 裏 307 座標nに止まり,裏→裏と出ても座標n+2に止まるが, これは (イ)の場合に含まれる。 x n n+1 n+2 (ア) 表 Action ちょうどぃに止まる確率は,最後の動きで場合分けせよ (1) 座標 n+2に止まるのは,次の2つの場合がある。を用 (ア) 座標nに止まり、次に硬貨の表が出る。 (イ) 座標n+1に止まり、 次に硬貨の裏が出る。 この2つの事象は互いに排反であるから 発 変身の 1 2 Pn+2= Pn+1 + 1/1/1 Pn ... ① 600 (2) ① より D+2Dn+1 1 1 1 (Dn+1-Pn) (2) Pn+2- Dn+1-Pn = 0 2 2 この特性方程式 6 ここで = Dn+2 + Dn+1 1 2 , p2 1 2 + 1 ②より,数列{bn+1}は初項 公比 11/23 の等比数列であるから ③ より P+1+ Dn+1-pn = Pn = Dn+ ⑤ ④ より したがって 3|2 Pn 1 2 . 1/2 -pn-1 == pm=1-(-1/2 n+1 n+1 = 3 章 = Pn+1 + 2 Dn ③ 1 x- 2 12 =0を解 18 = であり, くと x= 1 2 4 1 座標にちょうど止まる のは、硬貨を投げて1回 4' 目に表が出る(12) か、 1回目 2回目ともに裏が 漸化式と数学的帰納法 n-1 n+1 1 = ④ 出る(12/12/28-1/2)場合 がある。 + pi=1... ⑤- P1 を消去する

この演習問題82の(2)でどうして解説みたいな求め方になって、なんで118みたいの(2)のようにとかないのか分からないので教えてほしいです！ それと解説の(2)が何をしてるのか全く分からないのでそれも教えて欲しいです！！！

188 第7章 確 基礎問 118 道の確率 右図のような道があり,PからQまで最短経路で すすむことを考える.このとき,次の問いに答えよ。 (1)最短経路である1つの道を選ぶことが同様に確 からしいとして,Rを通る確率を求めよ. ○ P ii) P→C→B→Rとすすむ場合, 進路が2つある交差点は,PとCの2点。 よって, ii)である確率は1/2=1/1 189 R Q iii) P→C→D→Rとすすむ場合, (2) 各交差点で,上へ行くか右へ行くかが同様に確からしいとき 精講 Rを通る確率を求めよ. × (1)題意は「仮にPからQまで道が5本あったとしたら、1つの道 を選ぶ確率は1/32」ということです。 (2)題意は「ある交差点にきたとき,上または右を選ぶ確率がそれぞれ1/2」と いうことです. 進路が2つある交差点は,P,C,D の3点 よって,)である確率は (2)=1/2 i), i), )は排反だから、求める確率は 1 1 1 7 + + = 2 4 8 8 注 上の(1), (2) を比べると答が違います.もちろん、 どちらとも正解 です。確率を考えるとき 「同様に確からしいのは何か?」ということ 結果に影響を与えます。 また,(1)と(2)でもう1つ大きな違いがあります. それは (1) では 「Qにつくまで」 考えなければならないのに対して, 2)では「Rにつ いたら,それ以後を考える必要がない」 点です. 解 答 (1) PからQまで行く最短経路は 4! 3!1! =4 (通り) (4C でもよい) 104 また,PからRまで行く最短経路は 3! -= 3 (通り) (3C でもよい) 2!1! RからQまで行く最短経路は1通りだから PからRを通りQまで行く最短経路は3×1=3(通り) よって, 求める確率は 3 4 (2)(1)より、題意をみたす経路は3本しかないことがわかる. ここで, A, B, C, D を右図のように定める. i) P→A→B→R とすすむ場合, 進路が2つある交差点はPのみ. よって,i) である確率は 1 2 A B R Q PCD ポイント 道の問題では,次のどちらが同様に確からしいかの判 断をまちがわないこと I. 1つの最短経路の選び方 Ⅱ. 交差点で1つの方向の選び方 演習問題 118 右図のような道があり, PからQまで最短 経路ですすむことを考える.このとき 次の 問いに答えよ. R (1) 最短経路である1つの道を選ぶことが 同様に確からしいとして,Rを通る確率を 求めよ. P (2) 各交差点で,上へ行くか右へ行くかが同様に確からしいとして, Rを通る確率を求めよ. 第7章

黄色マーカー部分 なぜp1ではなくp0を使っているのですか？

の試行をn回繰り返した後, 箱Aに赤玉が1個, 白玉が3個入っている確率 (一橋大) 精講 した場合分けになっているか注意します。 ると樹形図では枝が多くなり, すべてを書くこと は困難になります。 このようなときは漸化式を立てることを考えま す. n回からn+1回への状況変化において, 排反でかつすべてを網羅 状況の変化を示す手段として樹形図解法のプロセス 回からn+1回への状況変化 がありますが、試行の回数が多くな 318 標問 143 2 項間漸化式の応用 箱A, 箱Bのそれぞれに赤玉が1個, 白玉が3個, 合計4個ずつ入って る。1回の試行で箱Aの玉1個と箱Bの玉1個を無作為に選び交換する Dm を求めよ. 319 (i) (赤玉0個, 白玉4個) から (赤玉1個, 白玉3個) となるのは, 箱 A, B か それぞれ白玉, 赤玉を選び交換するときであり,この確率は 1.2=1/ 1 (赤玉2個, 白玉2個)から(赤玉1個, 白玉3個)となるのは,箱 A, B か らそれぞれ赤玉, 白玉を選び交換するときであり,この確率は 2.1-1/ これらは排反であるから ( ) 5 ↓ 8 fr) 2 排反でかつすべてを網羅する場 合分け 5 Dn+ 1½ (1-Dn) ( (D) .. Pn+1=- 漸化式の利用 2 確率の総和=1 を使うことも ある この漸化式は Poti-12-12(4) 変形 on bot 1/2 より on f 本間の場合, n回目からn+1回目の試行にお いて, 箱Aに赤玉が1個, 白玉が3個となる変化 され, po=1であることから pn Pn― 14½ = (1-1) (±3)* の様子を図示すると次のようになります。 第8章 〃 回後 赤 0 +1回後 白4 赤 1 白3 赤1 白3 赤2 白2 解答 試行を回繰り返した後の箱Aに入っている玉は (赤玉1個, 白玉3個), (赤玉 0個, 白玉4個), (赤玉2個, 白玉2個) の3通りがある. それぞれの状態である 確率を Pr, Q, m とおく. 1回の試行で箱に入っている玉が 赤玉1個, 白玉3個) か玉1個、白玉3個)となるのは,A,Bか 同色の玉,すなわち「赤,赤」 または 「白, 白」を選び交換するときであ この確率は 1.1 +3.3 = 4 4 4 4 5-8 演習問題 Pn 143-1 平面の上に正四面体がある. 平面と接している面の3辺の1つを任意に 選び,これを軸として正四面体をたおす。 この操作をn回続けて行ったとき, 最初に平面と接していた面が再び平面と接する確率を とする. (1) 1, 2, 3 を求めよ. (2) nを用いて表せ. (琉球大) 個 ○ ○ × ○ × ○ 143-2 図のように2×nのマス目に○または×印をつけ る. その並び方をnの式で表すとア 通りである. 縦の並びを列と呼ぶ. 図ではn個の列がある. 少なくと も1つの列に○が2つ並ぶ並び方がP通りであるとす ると,P, である.また,どの列も○が2つ並ばないのは P2=ウ (ア-Pm)通りだから, Ph+1 を Pnとnの式で表すとP+1=エであ る。いま、○と×をそれぞれ 1/2/3の確率でつけるとすると,少なくとも1つの 列に○が2つ並ぶ確率は Qn= PR だから, Q+1 を Q の式で表すと, ア Q+1=オである. qn をnの式で表すとQn=カ である. (京都産業大)

この問題の1番なのですが、この場合条件付き確率で求めてますけど、大量の部品の中から1つとったのがAでできたもので、かつ不良品だったということを同時に起こったものと捉えれば確率の乗法定理でも求められませんか？僕の乗法定理の捉え方が間違っていますかね

基本 例題 57 原因の確率 00000 ある部品を製造する機械 A, Bがあり, 不良品の発生する割合は, A では3%, Bでは5%であるという。 Aからの部品とBからの部品が7:3の割合で大 量に混ざっている中から1個を選び出すとき,それが不良品であるという事 象をEとする。このとき,次の確率を求めよ。 (2) 事象Eが起こった原因が, 機械Aにある確率 1 確率 P(E) CHART & SOLUTION 事象 E (結果) を条件とする事象A (原因)の起こる確率 条件付き確率 PE (A)= PENA) この方でやることが 多い ...... 原因の確率 P(E) (1) 排反な事象に分解して求める。 →結果がわかっていて原因を探る確率 (2)「不良品である」ということがわかっている条件のもとで,それが機械Aの製品である 確率(条件付き確率) を求める。 解答 1枚が5で、残りの3 NA 選び出した1個が, 機械Aの製品であるという事象をA, 機 械Bの製品であるという事象をBとすると (2) P(A)=- 7 10' 3 10' 3 P(B)= PA(E)= PB(E)= 100' 5 100 (1)不良品には,機械Aで製造された不良品と機械Bで製造 inf. 次のように, 具体的 な数を当てはめて考えると, 問題の意味がわかりやすい。 全部で1000個の製品を製 造したと仮定すると された不良品の2つの場合があり, これらは互いに排反で 機械製造数 不良品 あるから P(E)=P(A∩E)+P(B∩E) A 700 21 = P(A)PA(E)+P(B)PB(E) 15. 148109 B 300 161.15.5. 計 1000 = + × 10 100 100 (2) 求める確率はP(A) であるから 7 3 3 5 9 = 10 250 (1)の確率は 36 9 1000 250 158 21 7 1-001 PE (A)= P(ENA) P(ANE) 21 9 7 (2)の確率は 36 12 = P(E) = P(E) 1000 250 12