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IG
重要 例題29
不等式を満たす点の存在範囲(3)
OO
た式と同値、
S10 を満たすとき, 点zが存
重要5
16
そを0でない複素数とする。zが不等式2<z+
在する範囲を複素数平面上に図示せよ。
の表す領域。
指針> 2szt
16
S10 と不等式で表されているから,z+
16
は実数である。
を適用して導かれる条件式に注目。
別解
そこで,まず
が実数→
なお,z+
の式であるから,極形式を利用する方法も考えられる。
0のとき
解答
2=r(cos0+isin0)
16
マ+
は実数であるから
別解
(r>0, 0<0<2元)とすると
16
16
え+
=z+
る
16
つ実部。
16
16
え+
2
よって
+2=ニ+
(z-z)|zf-16(2-2)30
(z-2)(l2f-16)=0
(2-2)(|2|+4)(la|-4)3D0
または ||=4
[1] =z のとき, zは実数である。
ゆえに zピ+16z=z|z}+16z
-(+)os0
+(-) sino
16
よって
11l2
2), Al
16
ゆえに
よって
AP<
16
は実数であるから
え+
したがって
点A
等分線
こある。
2
ス=ス
イ2|>0 から,
|2|=-4は不適。
16
=0 またはsin0=0
rー
r
16
が成り立つための条件は2>0であり,このとき
すなわち r=4 または0==0
または0=π
2<z+
(相加平均)2(相乗平均)により
16
22,
16
=8
[1] r=4のとき
る
16
z+
-=8cos0
(等号はz=4のとき成り立つ。)
16
すなわち, 2<z+
よって,2<8cos0<10 と
-1Scos0<1から
は常に成り立つ。
16
A10を解くと, z?+16<10z から
-Scos0<1
ス>0のとき, z+
[2] 0=0 のとき
2<zS8
(2-2)(z-8)三0
[2」 a|3D4 のとき, 点々は原点を中心とする半径4の円上に
したがって
16 16
ス+
=r+
2
r
16
=ス
よって,2<r+
16
<10
r
ある。22=4° であるから
16
ら 2SrS8
2<z+
-A10から
2<z+z<10
[3] 0=πのとき
ど
16
ス+
16.
ス十z
Tゆえに
1S-
- A5
r+
r
ニー
2
x
これは条件を満たさた
以上から,左図の太線音
すなわち
1S(zの実部)<5
0|11 2 /4
[1], [2] から, 点zの存在する範囲は,
右図の太線部分。
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