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基本 例題 97
0x8のすべてのxの値に対して, 不等式 x2-2mx+m+6> が成り
うな定数の値の範囲を求めよ。
メ! そこで,問題をグラフにおき換えてみると, 求める条件は
0≦x≦8の範囲でy=x2-2mx+m+6のグラフがx軸より上側にある
ということ。これを (区間内の最小値) > 0 と考えて進める。
CHART
不等式が常に成り立つ条件 グラフと関連づけて考える
解答
求める条件は,0≦x≦8におけるf(x)=x2-2mx+m+6の最 f(x)=x2-2mx+m
小値が正となることである。
内容はそ
f(x)=(x-m)2-m²+m+6であるから,軸は直線x=m
[1]<0 のとき, f(x)は0≦x≦8で増加 [1]
するから、 最小値はf(0)=m+6
!
ゆえに+6>0 よって
>-6
< 0 であるから(*
(*) -6<m<0..
①
m
0
8才
[2]0≧m≦8 のとき,最小値は
(0≦x≦8) の最小値を
る。 → p. 110 例題71
様に,軸の位置が
0≦x≦8の左外か
右外かで場合分け。
[1] 軸は区間の左
るから,区間の左
(x=0)で最小とな
[2] 軸は区間内に
ゆえに
f(m)=-m²+m+6
-m²+m+6>0
すなわち m²-m-6<0
これを解くと, (m+2)(m-3)<0 から
-2<m<3
0≧m≦8であるから(*
[2]
0≦m<3..
.....
② [3]
[3]8 <mのとき, f(x)は0≦x≦8で減少
するから, 最小値はf(8)=-15m+70
ら,頂点(x=m)
となる。
[3] 軸 は 区間の右
1
0m8x
るから、区間の
(x=8) で最小と
(*) 場合分けの条件
を忘れずに。 [1], [
通範囲をとる。
下
ゆえに, -15m+70>0から
14
m
m
3
0
8
x
これは 8 <mを満たさない。(*)
求める の値の範囲は, 1, ②を合わせて
-6<m<3
◆合わせた範囲を
POINT
練習
f(x) の符号が区間で一定である条件
区間でf(x)>0 [区間内のf(x)の最小値]>0
区間でf(x) <0 [区間内のf(x)の最大値] <0
