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第5章
基礎間
59 微分可能性
f(x)を次のように定める。
f(x)=
Vlogr
I
(x≥1)
x²+ax+b (r<1)
このとき、関数f(x) がx=1で微分可能であるように, a, b を定め
よ。ただし、lim log(1+h)=1は用いてよい。
f(x) がx=aで微分可能とは,f' (a) が存在することを意味しま
すから,ここではf'(1) が存在することを示します。
定義によると lim
0-4
f(1+h)-f(1)=f' (1) ですが, 1+hと1の大
h
小,すなわち, ん>0 とん<0 のときでf (1+h) の式が異なるので,ん→+0.
h0 の2つの場合を考え,
lim
h+0
f(1+h)− f(1) =
f(1+h)-f(1)
52 左側極限,
lim
h→-0
h
右側極限
slim
また、
f'(1)
注
lin
h-
f
2
1
4
h
が成りたてば
Gaia
lim
h0
f(1+h)-f(1)
h
が存在する
ことになり、目標達成です. これだけでα, 6 の値は求
められますが,ポイントにある性質と, 連続の定義を利
用してαともの式を1つ用意しておくと, ラクにα b
の値を求められます。
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[注]
まず, x=1で連続だから, limf(x)=f(1) が成りたつ
lim (x2+ax+b)=0
x-1-0
よって, 1+α+6=0 ...... ①
このとき
lim
ん→+0
X-1
f (1+h)-f(1)
h
= lim 1 log (1+ h)
→+oh1+h
+ h) — 0 }
◄log1=0
