例題 10
① 三角錐 OABC があり、
OA=OB=OC=2, BC=CA=AB=1
とする. 辺 OB, OC 上にそれぞれ点P,Qを
l=AP+PQ+QA
が最小になるようにとる.
(1) Zの最小値を求めよ.
IP
(2) 三角形 APQ の面積を求めよ.
A
(3) 三角錐 OAPQ の体積 V」 と元の三角錐
OABCの体積Vとの比の値を求めよ.
B
(早稲田大)
②Sを半径1の球面とし, その中心を0とする, 頂点Aを共有し, 大き
さの異なる2つの正四面体 ABCD, APQR が次の2条件をみたすとする.
点 0, B, C, D は同一平面上にある.
点 B, C, D, P, Q, R は球面 S 上にある.
このとき, 線分AB と線分 APの長さを求めよ.
(大阪大)
考え方 11 展開図を利用して考える. ② 平面 BCD, 平面 ABO による切断面を利用.
【解答】
① (1) 右の展開図において,
△OABS△ABE.
OA AB
AB BE
BE=/12
2
2
1 E F 1
△OEF∽△OBC.
A
A'
M
EF OE
BC OB
12
1
EF=
B 1 C
.
AP+PQ+QAAA'-1+3+1-11.
(2)Iが最小になるのは P=E, Q=F のときだから,
AM-√1-(3)√5-11
8
AAPQ=12.AM-EF=1.155.3 3,55
284 64-
(3) A から OBC に下ろした垂線の足をHとすると,
1. AOEF.AH
3
V-1.AOBC-AH
3
・△OBCAH
9
=(x)=16
OE OF
OB OC
(答)
E(P)
A
M
(答)
F(Q)
P(E).
Q(F)
C
A
(答)
H
B
