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第7章 ベクトル
基礎問
134 平面の方程式と正領域・負領域
座標空間内に,点A(Xo, yo, Z0) を通り, ベクトル n = (a,b,c)
(70)に垂直な平面がある.このとき,次の問いに答えよ。
(1)平面の方程式は,ある実数d を用いて,
ax+by+cz+d=0 と表せることを示せ.
(2)f(x,y,z)=ax+by+cz+d とおく.
異なる2点B (x1,y1, 21), C(x2,y2, Z2) に対して,
f(x, y, z)×f(x2,y2,z2) <0 が成りたつとき,次の(1),(i)を示せ
(i) BC はと平行でない.
( )2点 B, C は, 平面πに関して反対側にある.
|精講
(1) 内積を使った平面の方程式の立て方をしっかり理解しましょう。
結論が「〜でない」 となっているとき, 背理法が有効です。
(1) 平面上の任意の点をP(x, y, z) と
おくと、常に n・AP=0 が成立する.
n
· AP±0 % LAP
· AP=0 ‰5 ñ•AP=0.
よって,
n=(a, b, c)
AP=(x-xo, y-yo, z-zo)
より
a(x-ro)+b(y-yo)+c(z-zo)=0
ax+by+cz-axo-byo-czo=0
-axo-byo-czo=d とおくと,
ax+by+cz+d = 0 と表せる. (証明終)
P(x,y,z)
A(xo, yo, Zo)
πC
