(ア)y=x^-2x3+3x-1
(-1<x<1の逆関数をy=g(x) とする。 g"(1) の値を求め
p.265 基本事項 1.基本147
微分
微分
分
J"
v².
第3次導関数
第2次導関数
(第1次) 導関数
y=f(x) の高次導関数には,次のような表し方がある。
d'y
d'y
d (dy
←
第2次導関数
.... y", f'(x), f(2)(x),
dx2
dx2
dxdx.
d'y
d³y
d (d²y
←
第3次導関数
y''', f'(x), f(3)(x)
dx3
dx3
dx dx²
(2) 高校の数学では, y=tanx の逆関数を具体的に求めることはできない。 ここでは
y=f''(x) ⇔ x=f(y) と
dy
1 (1)
dx dx
=
を利用し、 まずg'(x) を x で表す。
dy
解答
(1) (ア)y=x²-6x2+3であるから
1y"=(4x3-6x2+3)、
y"=12x²-12x, y"=24x-12
y'=(12x²-12x)'
(イ)y=cos2x2=2cos 2x であるから
y=2(-sin2x) ・2=-4sin2x,
<y" = (2cos2x)',
y'=-4cos2x・2=-8cos2x
y'=(-4sin2x)'
(ウ)y=a*loga であるから
y"=a*(loga), y"=a*(loga)³
<y" = (a*loga)',
(2) 逆関数y=g(x) に対し x=g-l(y) すなわち x = tany
1
1
:.
g'(x)= dy
=
=
= =cos²y=
1
dx
dx
1
1
=
1+tan² y
1+x2
dy
cos2y
よって
g"(x) = d'y
d
1
2x
dx2
dx\1+x2
(1+x2)2
ゆえに
1
g" (1)=-
2
\(2) \y=tanx
指針 (1) 3-
7
2･1
(1+12)2
=
=
y'={a*(loga)"}'
<g-'(x)=tanx
d
-tany=
dy
COSy
◄g"(x) l£ g'(x) t
したもの｡
·(²+)
=
