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例題
基本の
158 三角形の成立条件、鈍角三角形となるための条件
[AB=2,BC=x, CA =3である △ABC がある。
1xのとりうる値の範囲を求めよ。
(2) ABC が鈍角三角形であるとき, xの値の範囲を求めよ。
(1)
000
[類 関東学院大 ]
P.248 基本事項 3.4 重要 159 \
三角形の成立条件|b-c| <a<b+c を利用する。
ここでは, 13-2|<x<3+2の形で使うと計算が簡単になる。
角となる場合を考えればよい (三角形の辺と角の大小関係より、最大の辺を考える
(2) 鈍角三角形において,最大の角以外の角はすべて鋭角であるから,最大の角が鈍
ことになる)。 そこで、最大辺の長さが3かxかで場合分けをする。
例えばCA(=3) が最大辺とすると
となりが導かれる。これに6=3,c=2, a=x を代入して,xの2次不
259
Bが鈍角 COSB<O⇔
c²+a²-b²
2ca
<0 c²+a²-b²<0
等式が得られる。
4
B
(1)三角形の成立条件から
3-2<x<3+2
<|x-3|<2<x+3または
1
1 <x< 5
よって
どの辺が最大辺になるかで場合分けをして考える。
[1] 1 <x<3のとき,最大辺の長さは3であるから,そ
の対角が90°より大きいとき鈍角三角形になる。
32>22+x2
x2-5<0
|2-x|<3<2+xを解い
てxの値の範囲を求め
てもよいが、面倒。
(1)から 1<x
[1] 最大辺がCA=3
3
る。
ゆえに
すなわち
よって
(x+√5)(x-√5) <0
ゆえに
-√5<x<√5
C
B>90⇔AC> AB+BC
C
1<x<3との共通範囲は 1<x<√5
で
[2] 3≦x<5のとき, 最大辺の長さはxであるから,そ (1) から x<5
の対角が90° より大きいとき鈍角三角形になる。
[2] 最大辺がBC=x
x2>22+32
2.
3
C
すなわち
x²-130
よって
ゆえに
(x+√13)(x-√13)>0
x<-√13√13 <x
B
X
A>90BC2>AB²+AC²
3≦x<5 との共通範囲は
13 <x<5
[1], [2] を合わせて 1<x<√5/13 <x<5
鋭角三角形である条件を求める際にも、最大の角に着目
し、最大の角が鋭角となる場合を考えればよい。
|AB=x, BC=x-3, CA=x+3である △ABC がある。
のとりうる値の範囲を求めよ。
(2) ABC が鋭角三角形であるとき、xの値の範囲を求めよ。
[類 久留米大]
p.263 EX113
