Example 40
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2つの実数, gがある。 を初項, g を公差とする等差数列を (an を初
公差とする等差数列を {bm} とする。 いま数列{an) の第2項が
a2=8 であり, 数列 {bm} の第4項がbx=14 であるとする。 このとき、
{bm に共通して現れる数を小さい順に並べて新しい等差数列 {c} を作ると、
の値は,g=1である。 また,このとき2つの数列 (am)と
cmの初項は,公差はである。 また {c} の初項から第n項ま
での和は,nの式で表すと
解答 an=p+(n-1)g, bm=g+(n-1)p
である。
[類 13 関西学院大 ]
a2=8 から
p+g=8
①
b=14 から
3p+g=14
②
①,② を解いて
よって
カ=3, g=15 答
an=3+5(n-1)=5n-2
bn=5+3(n-1)=3n+2
共通な項を α = bm とすると
5l-2=3m+2
また
③ ④ から
5・(−1)-2=3・(-3)+2_
5(+1)=3(m+3)
5と3は互いに素であるから
よって
l=3k-1 (k≧1)
したがって
l+1=3k(kは整数)
Cn=a3n-1=5(3n-1)-2=15n-7
ゆえに, 数列 {c} は初項 78, 公差 15 の等差数列である。 答
よって, 数列 {c}の初項から第n項までの和は
1/2n(cs+cm)=1/2n{8+(15n-7))=1/12n(15n+1) (答)
[Key a=bm を満たす
を求める。
Key 等差数列の和
等差数列{a} の初項か
ら第n項までの和 Sn は
Sn = 1/2₂n (artan)
