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基礎問
150
95 接線の本数 3/
曲線C:y=x-x 上の点をT(t, ピ-t) とする.
(1) 点Tにおける接線の方程式を求めよ.
点A(a, b) を通る接線が2本あるとき, a, bのみたす関係式
を求めよ.ただし、a>0, b=d-α とする。
(3) (2)のとき、2本の接線が直交するようなα, bの値を求めよ.
精講
(2) 3次関数のグラフに引ける接線の本数は、 接点の個数と一致し
ます. だから, (1) の接線にA(α, b) を代入してできるtの3次方
程式が異なる2つの実数解をもつ条件を考えますが,このときの
考え方は 94 注 で学習済みです.
(3) 未知数が2つあるので, 等式を2つ用意します。
1つは(2)で求めてあるので,あと1つですが,それが 「接線が直交する」
を式にしたものです。 接線の傾きは接点における微分係数 (83)ですから、
2つの接点における微分係数の積=-1 と考えて式を作ります.
解答
(1) f(x)=x-x とおくと, f'(x) =3㎡²-1
よって, Tにおける接線は,
y-(t³-t)=(3t²-1)(x-t)
∴.y=(3t2-1)x-2t3
(2) (1) の接線は A (a, b) を通るので
b=(3t²−1)a-2t3
∴.2t3-3at2+a+b=0 ••••••
......(*)
(*)が異なる2つの実数解をもつので,
g(t)=2t-3at2+a+b とおくとき,
y=g(t) のグラフが、極大値、極小値をもち,
(極大値)×(極小値)=0 であればよい.
94 注
g'(t)=6f2-6at=6t(t-a)
g'(t)=0 を解くと, t=0, t=α だから
185
y=x²-x|
2.05./000
A(a,b){
a≠0
(909(a)=0)
b=d-a, a>0 だから、a+b=0
(3) (2) のとき(*) より, t2 (2t-3a) = 0
参考
ポイント
2本の接線の傾きはf'(0),(2) だから,直交する条件より
13a
150
(0) (22)=-1
(− 1)(²77a²-1)=-1
a²=
8
27
a>0 より α =-
2√6
9
a=0
演習問題 95
[(a+b)(b-a³+a)=0
.
b=. 2√6
9
3次関数のグラフに引ける接線の本数は
接点の個数と一致する
<a≠0 は極値をもつ
ための条件
3次曲線Cの変曲点 (88) における接線をひと
するとき,
476519
斜線部分と変曲点からは1本引ける
実は、3次関数のグラフに引ける接線の本数は以下のようになるこ
とがわかっています. 記述式問題の検算用やマーク式問題で有効で
す。
・Cとl上の点(変曲点を除く)からは2本引ける
青アミ部分からは3本引ける
151
曲線 y=x-6.x に点A(2, p) から接線を引くとき、次の問いに
答えよ.
(1) 曲線上の点T(t, ピー 6t) における接線の方程式を求めよ.
(2) pt で表せ.
(3) 点Aから接線が3本引けるようなかの値の範囲を求めよ.
第6章
