には、惑星は楕円軌道を描いて運動している。 万有引力を受けて運動する
このような惑星の運動を考えるには, 2次元極座標を用いるのが便利であ
る。そこで,2次元極座標を用いると,質点の速度と加速度がどのように
表され、運動方程式がどんな形に表されるのかを、考えてみよう。
r-y 直交座標系で位置 (x,y)において速度v=(ひょ,ひy)=(エン)をも
って運動している質点P を考える。 図 8.2に示
すように, 2次元極座標系での速度成分 (Ur, Up) ~
と -y 直交座標系での速度成分 (vs, vy) の間に
は,第6章で考えた回転座標系の場合と同様に,
Ur= vxCOS+vy sin
y
ひ
y
HP
(8.5)
r
v=vxsin +vy cosp
I
の関係が成り立つ。
図8.2 速度の極座標表示
質点Pの位置は,(x,y)=(rcos, rsin) と書けるが,Pが運動し
の関数であるから, 合成関数の微分により速
は時刻
ているとき
度成分 (x, y) は,
v=i=icosp-rsin
(8.6)
vy=y=isinp+rocos p
と書ける。これを (85) 式へ代入して、速度の極座標表示
10r=j
(8.7)
V₁ = 14
を得る。
この結果は、上のような計算をせずに理解す
ることができる。 図 8.3のように, 速度vの動
成分は,動径の増加する割合であり, vr
=と書ける。 次に v は,動径に垂直な速度
成分であり, 原点を中心とした一定の半径r
の円周に沿った速さである。 したがって,
ve は半径r, 中心角の扇形の弧の長さの
増加する割合であり,v=at
d
ro
図8.3 極座標での速度成分
(x)=r(rは一定)と書ける。また、
は円運動の角速度であるから,v=r=rw は,円運動している質点
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