精講
an+2=pan++qan の型の漸化式の解き方は
2次方程式=bit+gのをとして、次の2つの場合があり
ます。
(I) αキβ のとき
an+2= (a+β)an+1 -aβan より
Jan+2-aan+1=B(an+1-aan) ...... ①
an+2 Ban+1 = a(an+1-Ban)
②
①より、数列{an+1-aan} は,初項 A2-Qa1, 公比βの等比数列を表すので、
....1'
an+1-aan=β"-1 (az-aa)
同様に,②より, an+1-Ban = α7-1 (az-βa1)
①-②より,
......②
(B-α)an=β"-1 (a2-aal)-α"-1 (a2-βas)
β”-1 (az-aa)-α”-1 (az-Ba)
an
B-a
注 実際には α=1(またはβ=1) の場合の出題が多く,その場合は階差数
列の性質を利用します。 (本間がそうです)
代ができる。
(II) α =β のとき
→階差にも50
an+2-dan+1=α(an+1-aan)
..
an+1-aan-a-1 (az-aa) .....3
つまり,数列{an+1 - Can} は, 初項 α-da, 公比αの等比数列.
(1)
③の両辺を α+1でわって
An+1
an
a2-ad1
=
an+1
an
Q2
k=1
よって, cam-a=(n-1)
n≧2 のとき,(
=(n-1). a2-aa₁
an=(n-1)a"-az-(n-2)a"-1a₁
ak+1
ak
ak
n-1
=
a2aay
k=1
a²
a²
コ (2)
