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基本
例題
la は定数とする。 関数f(x)=
x+1
たは範囲をそれぞれ求めよ。
(1) f(x) がx=1で極値をとる。
(2) f(x) 極値をもつ。
95 関数が極値をもつための条件
00000
x2+2x+α について,次の条件を満たすαの値ま
の比
1
x
指針
/P.162 基本事項 2. 基本94 重要 96 \
円
f(x) は微分可能であるから
f(x) が極値をもつ⇔
[[1] f(x) = 0 となる実数α が存在する。
物線
f'(x) = 0
[2] x=αの前後で f(x) の符号が変わる。>
まず, 必要条件[1] を求め, それが十分条
f'(x)/
f'(x) f'(x)
大
f'(x)
<0
極
<0
小 >0
件 ([2] も満たす) かどうかを調べる。
f(x)=0
(1) f'(1) = 0 を満たすαの値(必要条件) を求めてf(x)に代入し, x=1の前後で
f'(x) の符号が変わる (十分条件) ことを調べる。
(2) f(x)=0 が実数解をもつためのαの条件(必要条件) を求め、 その条件のもとで,
f(x) の符号が変わる (十分条件)ことを調べる。
なお, 極値をとるxの値が分母を0としないことを確認すること。
定義域は,x2+2x+α≠0 を満たすxの値である。
解答 f'(x)=1x2+2x+a)(x+1)(2x+2)
(x2+2x+α) 2
f(x) の (分母)=0
x2+2x-a+2
(x2+2x+α) 2
02
(1) f(x) は x=1で微分可能であり, x=1で極値をとる
とき f'(1)=0
(分子)=1+2-a+2=0, (分母)=(1+2+α)'≠0
(x+3)(x-1)
<必要条件。
4
章
2 関数値の変化、最大・最小
範囲の
よって a=5 このとき f'(x)=--
<a=5は
の解。
てもよ
(x+2x+5)2
ゆえに、f'(x) の符号はx=1の前後で正から負に変わ
り, f(x) は極大値f (1) をとる。 したがって
(2) f(x) が極値をもつとき、f'(x) = 0 となるxの値cが
あり, x=cの前後でf'(x) の符号が変わる。
よって 2次方程式 x2+2x-a+2=0 の判別式Dについ
て D0 すなわち 12-1(-α+2)>0
a=5
十分条件であることを示
す。
(この確認を忘れずに!)
y=x2+2x-a+2
+
+
そこ
注意し
これを解いて a>1
このとき、f'(x)の分母について {(x+1)^+a-1}'≠0
であり、f'(x)の符号はx=cの前後で変わるから f(x)
は極値をもつ。 したがって a > 1
C₁
C2
I
x=c(C1とC2の2つ)の前
後でf'(x) の符号が変わる。
191
練習
95
関数f(x)=
ekx
(kは定数) について
[類 名城大 ]
x2+1
(1) f(x) がx=-2で極値をとるとき, k の値を求めよ。
(2) f(x)が極値をもつときのとりうる値の範囲を求めよ。
p.191 EX90(2)、
S0)
のと
を表
