例題 210
接線の直交
339
曲線C:y=x°-kx 上の点P(a, a°-ka) [aキ0] における接線lが,曲線Cと
占Pと異なる点Qで交わり,点Qにおける接線が直線eと直交している。
(1) 点Qの座標をaとkを用いて表せ。
&のとりうる値の範囲を求めよ。
【類 大阪大
2直線が直交 →(傾きの積)=-1 を利用する。
条件を満たす点 P, Qが存在する
Pのx座標aがある
→aの満たす方程式が(0でない)実数解をもつ
のように考えて,このことからkの値の範囲を求める。
指針
また
y
x
Q
P
答案(1) y=3x*-k から,接線lの方程式は
yー(a°ーka)=(3a°ーk)(x-a)
(す)
すなわち y=(3a°-k)x-2a°
イyーf(a)
=f(a)(x-a)
6
接線と曲線Cの交点Qの×座標については,yを消去し
3
xーkx=(3a°-k)x-2α°
x-3a°x+2a°=0
(x-a)(x+2a)=0
て
(阪式)
よって
ゆえに
(接点→ 重解 x=a
人する
xキa であるから
(2) 点Qにおける接線の傾きは
接線が直交するための条件は
Q(-2a, -8a+2ka)
3.(-2a)-k=12a°-k
(3a°ーk)(12α°-k)=-1
(傾きの積)=-1
4の2次方程式。
ゆえに
36(a°)?-15ka°+k°+1=0
の
|* ャ
a°=t(t>0) とおくと
①を満たす実数a(キ0) が存在するための条件は, ①'が少
なくとも1つの正の解をもつことである。
のの判別式をDとすると
36t2-15kt+k?+1=0 o'
D=(-15k)?-4·36(k+1)=9(9k?-16)
=9(3k+4)(3k-4)十
43{5-4-4(k?+1)}
うか。
44
D20 から(3k+4)(3k-4)20
よって k<
33
kのR国
3うhoが
a8=
36_
4解と係数の関係。
Dの解を α, 8とすると
た(かた正だ!
よって,αとBはともに正で
レそした。
15k
α+B=
36
130<-
4
(をS-,S)かつょ>012 biis
3'3
したがって
ママ
上 01-
さね。
