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例題14
はさみ
x
次の問いに答えよ.
を求めよ.
(1) 極限値lim n
mk(k+1)
00
(2) 極限値 limon²
00
2月
(2k-1)(2k+1).
2n
(3)(12)の結果を利用して、極限値 lim (12/21)
k+1}
を求めよ.
11-0
を求めよ.
(東京理科大
1
考え方 (1)
k(k+1) kk+1
wwwwww
と部分分数に分解して考える.
(2)
(2k-1)(2k+1)
122
2k-1
2k+1/
と部分分数に分解して考える.
(3) は(1)のように部分分数に分解することはできない
(1)の結果を利用することを考えると,3つの極限値は,
2月
lim nΣ-
1178
1
in (kの多項式)]
という式になっている.
1
そこで,
k≧1 のとき,
(k+1)' (2k-1)(2k+1)'k2
の分母に着目するとでる
LE
SI
mi
1130
0
k(k+1)=k+k>k
(2k-1)(2k+1)=4k²-1<4k
であるから,
0<—(4k²−1) <k² <k²+k
という大小関係であることがわかる.
すなわち, 01 (2k-1)(2k+1kkk+1)より.
辺々の逆数をとると
4
0<-
k-1) (2k
k(k+1)k(2k-1)(2k+1)
という関係を導くことができる.
この関係式と (1) で求めた極限値を利用する.
tim
