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数学 高校生

なんで2次の項が、正か負か0かという場合分けをしていないんですか?

18 2次不等式 すべての』について… 次のの不等式の解がすべての実数となるような, 定数mの値の範囲を求めよ. (m+1)m²+2mx+m-1<0 グラフを活用する 解の配置と同様に, グラフを活用しよう. (東北福祉大, 改題) 「2次関数f(x)=ax+bx+c (a40) がすべての実験に対してf(x) <0を満たす」...(*) ということをy=f(x) のグラフを利用してとらえると,D co (*) 「放物線y=f(x) がx軸 (直線y=0)の下側にある」 ⇔「放物線y=f(x) が上に凸で,かつェ軸と共有点をもたない」 ⇔「2の係数α < 0, かつ、f(x)=0の判別式D<0」 2012 (20) になる。 なお, a=0のときは,f(x)=bx+c (直線) であり,このときつねに ②P-Q(1) f(x)<0となる条件は,傾きが0で切片が負であること、つまり Q(2) > a<0,D<0 yo yetin) /v=f(x) 3 ② 0 エ C 共上 y=f(x) (aco Do 「 b = 0 かつc <0」 TJ である. (f(x)が負の値を取る定数関数であることが条件 AU 解答 1767) くて m=-1のとき,f(x)=-2x2となり不適である. D<0 (0) Do (20) 20 Paffx) = (m+1)mx2+2mz+m-1とおく. ②①=0のとき, f (x)=-1となり適する。 .m≠-1,m=0 のとき, つねに f (x) <0となる条件は, (m+1)<0かつ 2次方程式f (x) =0の判別式D<0 が成り立つことである. (m+1)<0により,-1<m<0. D/4=m²-(m+1)m(m-1)=m{m-(m+1)(m-1)}<0 ①により,m-(m+1) (m-1)>0 m²-m-1<0 よって, 1-√5 2 1+√5 1-√5 <m< であり, ①とから, <m<0 2 2 以上により求める範囲は, 1-√√5 2. <m≤0 ①10:0 ico 注 「f(x)=ax2+bx+c (a≠0) がつねに正」 ⇔「a>0,かつ, f(x) =0の判別式D<0」 注 関数f(x) が最大値をとるとき, ○ 「f(x)がつねにf(x) <0」 「f(x)の最大値<0」 ・① である。この考え方で, f (x) =ax2+bx+c (a≠0) がつねに負となる条件 を求めてみよう。 まず, a<0でなければならず,このとき, f(x)=a (x+2)² - b262-4ac b2-ac の最大値は 4a -4a であるから, 最大値 <0b2-4ac<0 (∵ よって,その条件は, a <0 かつb2-4ac <0 4a>0) 「すべてのェに対してf(x) O とはならない。 M+1 70 mico グラフが上に凸 1-√√5 1+√5 <0< 2 2 y=f(x) T a>0,D<0 D=b4ac であるから, 前文の 条件と同じ 18 演習題(解答は p.62) すべての実数 +1≧0が成り立つような に対してー2(α-1)ry+y2+(a-2)y αの範囲を求めよ. (阪南大) thle まず1文字を固定し,別 の1文字だけを動かす ぱぱっと ①1対 51

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数学 高校生

(3)のマーカーしてある部分がなぜそうなるのか分かりません。教えていただきたいです。

6 第6章 場合の数 301 Step Up お互いに身長の異なる8人を, 山の形に整列させる. i番目に並ぶ人の身長をん とし 一 番高い人をん (2≦k≦7) 番目に配置することにすると,これを数式で表記すれば、 h₁<h₂<<hr hr>...> he である. このとき, 以下の問いに答えよ. ただし, "Co+m+,C2+....+,C=2" が成 り立つことを用いてもよい。 (1) k=3 となる並べ方は何通りあるか答えよ. (2) 2≦k≦7 に対して, 並べ方は全部で何通りあるか答えよ. (3)n(n≧3)人を同様に整列させるとき, 2≦k≦n-1 に対して, 並べ方は全部で何通り あるか答えよ. 8人を身長の低い順に, 1, 2, 3, ..., 7, ⑧とする. (1) k=3 というのは、3番目に⑧がきていて, となる場合である. をみると 左の2つの△△は、7人から2人を選び,身長の低い 順に並べて、右の5つの□□□□□は、残りの5人を身 長の高い順に並べるので, C2=21(通り) (2) たとえば,k=2のときだと, 1AO で、△は7人から1人を選び, 6つの□には身長の高い 順に並べるから、 C7(通り) というようになっている. したがって,まとめると, k=2,3,4,5,6,7 に対し ⑧の左の△のところに, 7人から1人、2人,3人, 4人,5人,6人を選び, 身長の低い順に並べることにな あるので, 7C1+7C2+7C3+7C4+7C5+7C6 △△に入れる2人を選べば、 条件を満たす並べ方は1通り に決まる。 太 章末問題 &&& 同人) 6 (表)の通り ST(S) ={7C0+(7C1+7C2++7C6)+7C7}-(7C0+7C7) 3)=2'-2 KnCo+nCi+....+nCn=2" を 2乘出る利用。なお,この等式は、数 126 (通り) (高液る食 器 (3)人を身長の低い順に, ① ② ③, ... (2)と同様に,たとえば, k=2のときだと で,これは, (n-2)人 k=3のときだと, 棚の持ち とする 学で学習する二項定理を用 いて導くことができる。 (U) 0-0x2=1 (通り) 次の確率を求め、島 (n-1) 人から を除く 歌中1人を選ぶ。 以 △△□□□ 「目の出方は全部(n-3) 人 で,これは, n-1 (通り) したがって, 並べ方は全部で, n-Ci+n-1C2+n-1C3 ++n-1Cn-2 =-Cot-Ci+n-Cotto - Cn-2) +-- 2-1-2 (通り) △△に⑦を除く (n-1) 人か ら2人を選び, 身長の低い順 に並べる. —(n-Cotn-Cn-i) | Yeti のり

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