13 奇偶で形が異なる漸化式
数列{an} を次の条件 (i), (ii)により定める。
(i) α = 1 である.
(i) =1.2.3, ··· に対し, "が奇数ならば 0%+1=-α+1, "が偶数ならば 0x+1=-20+3である
さらに, 数列{bn} をbn=a2n-1 により定め, 数列{cm} を Cm=az" により定める。 次の問いに答えまし
(1) az, as, as, as を求めよ.
(2) 数列{bn}, {cm}の一般項をそれぞれ求めよ.
(3) 自然数に対して, 数列{an}の初項から第 (2m-1)項までの和を Tm とする. T
(広島大・文系)
用いて表せ.
の奇偶で形が異なる漸化式は, "=2k-1, n=2kとおいて、奇数
奇偶で形が異なる漸化式
••••••) どうしに成り立つ漸化式, つまり、1 を で表す式を立てて解き, もとの漸化式に戻って
て azn を求める。
■解答量
(1)
=1
nが奇数のとき, an+1=an+1.
nが偶数のとき, an+1=-2a+3
① で n=1 として,=-α+1=0, ② でn=2として,
x=-2a+3=3
①でn=3として,,=-2+1=-2, ②n=4 として,αs=-2a+3=7
(2) by=azu-1 より bn+1=02n+1 であり、②のnを2にして.
bn+1=0zn+1=-2azw+3
①のnを2-1にすると,
@2n=-Q2n-1+1......
なので,③=-2(-2月-1+1) +3=24z-1+1
bm+1=2bm+1
bn+1+1=2(bm+1)
bn+1=2"-1 (by+1)
by==1より, bn=2"-1
④より、C=Q2=Q2月-1+1=-bx+1
=-2+2
(3) ④ より 2-1+02月=1なので、m≧2のとき
--'a₂=2(a₂-1 + a₂n) + a₂m-1= [ {1+bm
=(m-1)+(2m-1)=2"+m-2 (m=1のときもOK)
3)
奇数項についての漸化式
て奇数項を求める。
数項からすぐに分かるので
項についての漸化式は
要はない。
