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重要 例題110 2次不等式の解法 (4)
次の不等式を解け。ただし,aは定数とする。
(1) x2+(2-a)x-2a≦0
(2) ax² Max
基本106
指針文字係数になっても, 2次不等式の解法の要領は同じ。まず, 左辺=0 の2次方程式を解く。
①
因数分解の利用
②2 解の公式利用
の2通りあるが,ここで
それには
は左辺を因数分解してみるとうまくいく。
<Bのとき (x-a)(x-β)>0x<α, β<x
(x-α)(x-B) <0⇒a<x<B
α,Bがαの式になるときは,αとβの大小関係で場合分けをして上の公式を使う。
(2) x2の係数に注意が必要。a>0,α = 0, a < 0 で場合分け。
※単に文字は〇で仕分けせよ。
CHART (xーα)(x-β)≧0の解α, β の大小関係に注意
解答
(1) x2+(2-a)x−2a≦0から
(x+2)(x-a)≦0 ...... 1①
(8)
[1] a<-2のとき, ① の解は a≦x≦-2
[1]
[2]
[3]
[2] α=-2のとき, ① は
(x+2)² ≤0
よって
は
x=-2
V
D
コン
[3] -2 <a のとき, ① の解は -2≦x≦a
a
a
以上から
a<-2のとき a≦x≦-2
a=-2のとき x=-2
ANOCE
-2 <a のとき -2≤x≤a
(2) ax≦ax から
ax(x-1) ≤0
......
[1] a>0のとき, ① から
x(x-1)≦0
1① の両辺を正の数αで割る。
126 [ST
よって
(8)
0≤x≤1
は
「=」で
[2] a=0のとき, ① は
x(x-1)
成り立ってる 100となる。≦は「<または=」
これはxがどんな値でも成り立つ。
の意味なので, <と= のどちらか
一方が成り立てば正しい。
よっては すべての実数
3月30① の両辺を負の数で割る。
[3] α<0のとき, ① から x(x-1)≧0
よって
以上から
x≦0, 1≦x
は
負の数で割るから、不等号の向き
が変わる。
a>0のとき 0≦x≦1⑨
a=0のときすべての実数:
a<0のとき x≦0, 1≦x
JBLEC
注意 (2) について, axe Sax の両辺を ax で割って,x≦1としたら誤り。なぜなら, ax=0のと
きは両辺を割ることができないし, ax<0のときは不等号の向きが変わるからである。
練習
次の不等式を解け。 ただし, aは定数とする。
110 (1) x2ax≦5(a-x)
[(3) 類 公立はこだて未来大]
(2) ax²>x
NYX
2
X. -20
(3) x²-a(a+1)x+a³ <0
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章 3 2次不等式
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