基本
例題
寺差数列,等比数列, 階差数列と漸化式
次の条件によって定められる数列{a} の一般項を求めよ。
(1) a1= -3, an+1=an+4
((3) a1= 1, an+1=an+2"-3n+1
指針
00000
463
(2) a1=4,2a+1 +34=0
[(3) 類 工学院大 ]
P.462 基本事項
1
漸化式を変形して, 数列{an} がどのような数列かを考える。
(1) an+1=an+d (anの係数が1で,dはnに無関係) 公差dの 等差数列
(2) an+1=ran
(定数項がなく,rnに無関係)
→公比の等比数列
(3) an+1=an+f(n) (anの係数が1で, f (n) はnの式)
→f(n)=b とすると,数列{bn} は {an} の階差数列であるから,公式
n-1
n≧2のときan=a+bk を利用して一般項 αを求める。
k=1
(1) an+1-an=4より,数列{an}は初項 α1=-3,公差4の
等差数列であるから
an=-3+(n-1)・4=4n-7
解答
3
(2) an+1=-
2
-an より, 数列{an} は初項α1=4,公比 3
<a=a+(n-1)d
2
の等比数列であるから an=4
3\n1
章
漸化式数列
(3) an+1-an=2"-3n+1より, 数列{an} の階差数列の第n
項は2"-3n+1であるから, n≧2のとき
an=arni
階差数列の一般項が
すぐわかる。
(LC-
n-1
an=a+(23k+1)
k=1
=1+22-32k+21
k=1
k+2nd
ton=1+
2-1
2(21-1) -3.12 (n-1)n(n-1)
k=1 HALUC
53055AP
3
5
=2"-
n²+
n-2
①
2
2
n=1のとき
21-3.1²+5.1-
・1-2=1
n-1
k=1
n-1
Σ2は初項2, 公比
k=1
2 項数n-1の等比
数列の和。
a =1であるから,①はn=1のときも成り立つ。
したがって
主意
3
5
n-2 +
a=2"-n²+n-2
初項は特別扱い
an+1=an+f(n) 型の漸化式において,f(n) が定数の場合, 数列 {a} は等差数列となる。
24(0)
