-
![]()
488
基本例 49 図形と漸化式 ( 1 )
■領域の個数
平面上に、どの3本の直線も1点を共有しない, n
指針
平面が直線によって分けられる領域の個数をnで表せ。
(1) どの2本の直線も平行でないとき。
(2) n(n≧2) 本の直線の中に, 2本だけ平行なものがあるとき。
解答
2本の直線がある。
(1) n=3の場合について、図をかいて考えてみよう。
α2=4 (図のD−D)であるが、ここで直線を引くと、
はも
と2点で交わり、この2つの交点では3個の
線分または半直線に分けられ、 領域は3個 (図のDs, Ds.
D2) 増加する。
よって
ax=az+3
同様に, n番目と (n+1) 番目の関係に注目して考える。
(1) n本の直線で平面が α 個の領域に分けられていると
する｡
(S+,
n²+n+2
2
00000
(n−1)²+(n−1)+2
2
n=3 Ils
Ds
·+(n−1)=
次の場合
本の直線によって on 個の領域に分けられているとき, (n+1) 本目の直線を引く
と領域は何個増えるかを考え, 漸化式を作る。
D₁ D.
D₁
(2) (n-1) 本の直線が (1) の条件を満たすとき, n本目の直線はどれか1本と平行に
なるから (n-2) 個の点で交わり, (n-1) 個の領域が加わる。
n²+n
2
T
(n+1) 本目の直線を引くと, その直線は他の本の直 (n+1) 番目の直線は
n
本の直線のどれとも
線で (n+1) 個の線分または半直線に分けられ、 領域は
でないから、交点は
an+1=an+n+1
(n+1) 個だけ増加する。ゆえに
よって
また
an+1-an=n+1
a₁=2
数列{an}の階差数列の一般項はn+1であるから,
n²+n+2
2
D
D₁
n-1
42=7
n-1
n≧2のとき an=2+2(k+1)=-
k=1
これはn=1のときも成り立つ。
ゆえに、求める領域の個数は
(2) 平行な2直線のうちの1本をl とすると, lを除く
(n-1) 本は (1) の条件を満たすから,この (n-1) 本の
直線で分けられる領域の個数は (1) から
an-18 St (1) の結果を利用
更に,直線lを引くと, lはこれと平行な1本の直線以
外の直線と (n-2) 個の点で交わり, (n-1) 個の領域が
増える。よって, 求める領域の個数は
a-1+(n-1)=
k=1
n-l
Σ(k+1)==k+
= 1/(n-1)+₁²
2-
(an-1は, (1)の
代わりにn
練習平面上に,どの2つの円をとっても互いに交わり,また,3つ以上の円は
③ 49 は交わらないn個の円がある。これらの間に
の部分
