基礎問
56 複素数列と極限
次の問いに答えよ.
1+i
(1) W=1,Wn+1=
2
-wn (n=1,2,3, ...) をみたす数列{wn}につい
て, wmnで表し,n→∞ のとき, wn が近づく点を求めよ.
(2)=1+2i, Zn+1=-
1+i
2
-zn+1+i (n=1, 2, 3, ...) をみたす数列
{2h}について,znnで表し, n→∞ のとき, Zn
が近づく点を求め
点wn
(2)
縮小し
原点
Zn
Ce
精講
55 (2)と同じ形の漸化式なので, wn はすぐに求まりますが, 極限は
実数と虚数で同じように考えてよいのでしょうか?
複素数 In+yni (In, yn:実数)は点(In, yn) と対応していることか
ら,Wn=In+yni において, In→α, yn→β(n→∞) ならば,wn→a+Bi
(n→∞) と考えられます。
だから,複素数列の極限は,wn=In+yniとおけば、2つの実数の数列{zn.
{yn}の極限を考えることと同じです.しかし, こうすると2つの数列{x},
{yn}を考えることになり時間が2倍かかります.そこで,この基礎問を通して,
{wn}のまま処理して,n→∞のとき, wn の近づく点を求めることを学びまし
ょう。
解答
(1)数列{20m は,初項1,公比 1+2 の等比数列だから,
+i\n-1
wn=1.1
1
2
+i\n-1
ここで
=
4
4 √2
だから、100ml=
n-1
2
.
n→∞ のとき, |wn|→0
すなわち, n→∞のときwn は原点に近づく .
1+i.
参考
COS
2
= 1/127 (cos 1/4 + i sin 17 )
π
4)より、
