例 1
2次方程式 x2+2mx+m+2 = 0 が異なる2つの正解をもつ
とき,定数mの値の範囲を求めよ。
解答
この2次方程式の2つの解をα, β とし, 判別式をDとする。
この2次方程式が,異なる2つの正解をもつのは,次が成り
立つときである。
D>0 で, a+ β > 0 かつ a B > 0
D
ここで
=m
= m² -1.(m+2) = m²-m-23
D>0 より
m²-m-2>0
すなわち
(m+1)(m-2)>0
よって
m<-1,2<m
①
解と係数の関係により
α+β=-2m, aβ=m+2
a+β>0 より - 2m >0 よって
< 0
aβ>0 より m+2>0
よって
m> -2
①,②,③の共通範囲を求めて
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-2<m<-1
-2 -1 0
ECKS
練習1 2次方程式 x2+2(m-3)x+4m=0 が異なる2つの正の解をもつと
き、定数mの値の範囲を求めよ。
2次方程式 ax2+bx+c=0の2つの解αβと判別式Dについて,
次のことも成り立つ。
0
α, βは異なる2つの負の解 D>0 で,a+β < 0 かつ αβ > 0
α, β は符号の異なる解 ⇔ αB <0
ESA
補足 αとβの符号が異なるとき, 解と係数の関係から,aとcの符号も異な
る。よって<l より D=62-4ac>0は成り立っている。
10
5
m
