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重要 例題 71 定義域によって式が異なる関数
関数 f(x) (0≦x≦4) を右のように定義すると
次の関数のグラフをかけ。
(1) y=f(x)
(2) y=f(f(x))
2x
(0≦x<2)
f(x)=
8-2x (2≦x≦4)
123
指針 定義域によって式が変わる関数では、変わる境目のxyの値に着目。
(2) f(f(x)) f(x)のxf(x) を代入した式で,
0≦f(x)<2のとき 2f(x),
f(x)のとき 8-2f(x)
(1)のグラフにおいて, f(x)<2となるxの範囲と, 2≦f(x) ≦4となるxの範囲
を見極めて場合分けをする。
(1) グラフは図 (1) のようになる。
3章
関数とグラフ
解答
(2)f(f(x))={
2f(x) (0≤f(x)<2)
よって, (1) のグラフから
8-2f(x) (2≤f(x)≤4)0
0≦x<1のとき f(f(x))=2f(x)=2+2x=4x
f(f(x))=8-2f(x)=8-28-2x)
=4x-8
f(f(x))=2f(x)=2(8-2x)
1≦x<2のとき
f(f(x))=8-2f(x)=8-2・2x
=8-4x
(p+d
2≦x≦3のとき
3<x≦4のとき
=16-4x
よって, グラフは図 (2) のようになる。
(1)
(2)
ya
YA
4
4
2
変域ごとにグラフをかく。
(1) のグラフから,f(x)
変
0≦x<1のとき
0≤f(x)<2
1≦x≦3のとき
2≤f(x)≤4
3<x≦4のとき
0≤f(x)<2
また, 1≦x≦のとき,
f(x) D
1≦x<2なら
f(x)=2x
2≦x≦3なら
f(x)=8-2x
のように2を境にして
式が異なるため, (2) は左
の解答のような合計4通
りの場合分けが必要に
なってくる。
1
O 1 2 3 4 x
01 2 3 4 x
参考(2)のグラフは,式の意味を考える方法でかくこともできる。
[1]f(x) が2未満なら2倍する。
[2]f(x) 2以上4以下なら, 8から2倍を引く。
[右の図で、黒の太線細線部分がy=f(x), 赤の実線部分が
y=f(f(x)) のグラフである。] なお,f(f(x)) f(x) f(x) の
合成関数といい, (fof) (x) と書く (詳しくは数学Ⅲで学ぶ)。
8から2倍を
引く
4
2
0
4 x
2倍する
