不等式の証明
数学的帰納法を用いて, 不等式を証明してみよう。
例題が4以上の自然数のとき, 次の不等式を証明せよ。
16
2>3n
方針 4以上の自然数に対する命題の証明であるから,(I)として n=4の
きり立つことを証明するで
証明 不等式 2">3n を ① とおく。
(I) n=4 のとき,
①の左辺 =2=16
①の右辺 =3・4=12自
よって, ① は成り立つ。
(II) k≧4 として, n=k のとき①が成り立つと仮定する。 すなわち,
2kk... ② 2S+
@ 1+1=n
n=k+1 のときの①の両辺の差を, ②を用いて変形すると,
2k+1-3(k+1)=2.2"-3(k+1)
したがって,
M
22.3k-3(k+1)?
=3(k-1)>0
仮定 2 > 3k
を利用
k≧4 より,
k-1>0
2k+1 >3(k+1)
よって, n=k+1 のときも ①が成り立つ。
(I),(II)より,4以上のすべての自然数nについて①は成り立つ。
